1. Het verband met andere webpagina's
In de bovenliggende webpagina B.24 wordt een ontwerpgrafiek geponeerd die de spraakverstaanbaarheid geeft als functie van twee grootheden:
de (gecorrigeerde) afstand tussen een "gewenste" spreker en een toehoorder,
de hoeveelheid absorberend oppervlak (aangeduid met A) gedeeld door het aantal "stoorsprekers" N in de ruimte.
In de huidige webpagina zal die grafiek worden afgeleid uit de formules. Daartoe worden twee grootheden gebruikt die eerder zijn behandeld: enerzijds U50 in webpagina B.22.2, anderzijds DS in de voorgaande webpagina B.24.1.
2. Theorie
2.1 De afleiding van DS
In de voorgaande pagina is een formule afgeleid voor DS. Die luidt:
|
|
(1) |
waarbij de volgende variabelen zijn gebruikt:
r |
= |
afstand tussen de gewenste spreker en de toehoorder |
Q |
= |
richtingscoëfficiënt van de gewenste spreker |
S |
= |
totaal geometrisch oppervlak van alle vlakken in de ruimte |
α |
= |
absorptiecoëfficiënt gemiddeld over alle vlakken in de ruimte |
N |
= |
het aantal stoorsprekers in de ruimte |
In formule (1) geeft de linker term de invloed van het vroege geluid; de tweede term vertegenwoordigt N ruissprekers. Daarbij zijn twee verwaarlozingen toegepast:
Bij het direct moet eigenlijk de energie worden opgeteld van de vroege reflecties veroorzaakt door de gewenste spreker zelf
Bij het ruisdeel verwaarlozen we de nagalm van de gewenste spreker.
2.2 Uitbreiding naar U50
Indien we het vroege en late energie van de gewenste spreker niet weglaten ontstaat de volgende afleiding van U50 in plaats van DS. Een spreker veroorzaakt een galm die kan worden geschreven als:
|
|
(2) |
Dat is dus de energetisch som van vroeg en laat geluid. De onderverdeling tussen beide grootheden hangt geheel af van de nagalmtijd en staat in tabel 1. Het totaal van vroeg (VR) en laat vermogen (LT) is telkens 100%, zodat we kunnen schrijven:
|
|
(3) |
Tabel 1: De totale energie in het diffuse veld kan worden onderverdeeld in vroeg en laat vermogen (kolommen 2 en 3). De som moet telkens 1.0 zijn.
Nagalmtijd [s] |
VR, vroeg vermogen [-] |
LT, laat vermogen [-] |
4 |
0.16 |
0.84 |
1 |
0.50 |
0.50 |
0.5 |
0.75 |
0.25 |
0.2 |
0.97 |
0.03 |
Het is nu eenvoudig om formule (1) uit te breiden tot U50 en te schrijven als:
|
|
(4) |
In formule (4) zien we dat LT (immers een getal tussen 0 en 1) vrijwel altijd mag worden verwaarloosd ten opzichte van N [[1]]. Echter, de verhouding van het vroege geluid t.o.v. het direct (dus de linker term) is moeilijker te zien en hangt af van de situatie. Voorbeeldberekeningen zijn dan noodzakelijk die we in de volgende paragraaf zullen ontmoeten. Hier kan reeds worden gesteld dat de invloed vaak gering is. Dat komt omdat we in situaties met veel stoorsprekers altijd dicht bij de spreker moeten staan. De linker term voor het direct is dan meestal flink groter dan de rechter voor het vroege geluid. Dat betekent dus dat U50 vaak door DS mag worden vervangen.
2.3 De omgekeerde formule ondersteboven voor de bruikbaarheid
De weergave van bovenstaande formules volgt de conventies in de rest van de website. We zullen echter toewerken naar een grootheid A/N. Die is net wat handiger, want geeft de hoeveelheid absorberend oppervlak die per spreker nodig is om een bepaalde spraakverstaanbaarheid te bereiken. We voegen daartoe eerst de grootheden α en S samen tot A en zetten vervolgens de tweede term op z'n kop, waardoor het minteken overgaat in een plusteken. Formule (1) gaat dan bijvoorbeeld over in:
|
|
(5) |
De grootheid A/(N(1-α)) wordt voorlopig gebruikt in de komende grafieken; daarna zal worden gepoogd om de simpeler maat A/N toe te passen.
2.4 Enkele rekenvoorbeelden
2.4.1 Een tamelijk grote ruimte
In figuur 1 wordt een berekening gegeven van DS én U50 voor een ruimte van 32 × 25 × 4.5 m3. Op de vloer, van 800 m2, wordt gerekend met 32, 64 en 128 sprekers. De variabele langs de x-as is verder afhankelijk van gemiddelde absorptie van de ruimte.
Het totale geometrisch oppervlak is gelijk aan 2113 m2. Voor een zeer galmende ruimte met α = 2% is het totale absorberende oppervlak gelijk aan 42 m2 zodat A/(N*(1-α)) in de orde ligt van 1, afhankelijk van het aantal sprekers. De waarde van A/(N*(1-α)) is gelijk aan 50 indien N gelijk is aan 32 sprekers en α gelijk is aan 40%. Dat is een hoge waarde die technisch mogelijk is maar die men in de praktijk niet vaak zal aantreffen.
Figuur 1: De berekening van DS (gestippelde curven) en U50 (rode curven) voor een ruimte van 32 × 25 × 4.5 m3. Het vloeroppervlak bedraagt dus 400 m2, waarop zich 32, 64 of 128 sprekers bevinden. Er zijn per afstand drie rode curven voor drie waarden van N, maar ze blijken geheel over elkaar te vallen.
De zwarte curve is berekend met formule (1); de rode curve is numeriek bepaald met formule (5) voor oplopende waarden van de absorptiecoëfficiënt.
Er zijn per afstand drie rode curven voor drie waarden van N, maar ze blijken geheel over elkaar te vallen. Dat komt omdat LT kleiner is dan 1 en dus wegvalt tegen de waarden 32, 64 of 128 voor N.
De waarden van rg dienen als parameter. Zij zijn berekend uit:
|
|
(6) |
Als Q = 1 staat daar dus gewoon de afstand, maar aangezien Q voor een spreker gelijk is aan 2.5 recht voor de mond is rg dus wat korter dan r. Voor een afstand van 1 m, mag men dus ruwweg de curve voor 0.7 m aanhouden in figuur 1. Zoals te verwachten pakt dat dus gunstiger uit.
Voor de aanduidingen "matig" tot "uitstekend" zij verwezen naar webpagina B.22. Wel wordt duidelijk dat we alleen bij korte afstanden en hoge absorptiecoëfficiënten tot een "uitstekende" spraakverstaanbaarheid kunnen komen.
2.4.2 Een ruimte ter grootte van een schoollokaal waarin meerdere sprekers door elkaar praten
In figuur 1 zijn de verschillen tussen DS en U50 verwaarloosbaar. Dat komt omdat we rekenen aan een tamelijk grote ruimte. Figuur 2 geeft een herhaling van figuur 1 maar nu voor een kleinere ruimte van 8 × 6.25 × 3.2 m3. Lengte en breedte zijn dus ieder vier maal zo klein geworden. Als we dus het aantal sprekers 16 maal zo klein kiezen blijft de verhouding met het vloeroppervlak gelijk. Om de figuur leesbaar te houden zijn alleen de gecorrigeerde afstanden 0.35 en 1.0 m getekend.
Figuur 2: De berekening van DS (zwarte stippellijn) en U50 (rode, groen en blauwe curve) voor een ruimte van 8 × 6.25 × 3.2 m3. Het vloeroppervlak bedraagt dus 400 m2, waarop zich 2 (rood), 4 (groen) of 8 (blauw) sprekers bevinden.
Als figuur 1 en 2 worden vergeleken zien we dat de stippellijnen precies op dezelfde plaats liggen. Dat klopt ook: in de formule van DS zit het ruimtevolume (impliciet) alleen in de grootheid A. Die is in figuur 1 zestien maal zo groot als in figuur 2. Maar als dan ook het aantal sprekers door zestien wordt gedeeld valt het ruimtevolume er weer uit
In de figuur zien we nu wel enig verschil ontstaat tussen DS en U50. De verschillen zijn beperkt bij een korte afstand, maar op 1 m afstand is er enige hulp van het vroege geluid dat in U50 wel meetelt en in DS niet. De geometrie van de ruimte (groot versus klein volume) speelt bij U50 wel een rol omdat het de hoeveelheid vroege energie beïnvloedt.
3. Een handiger maar minder accurate grootheid: A/N
3.1 De invloed van de term (1 - α)
Uit de figuren (1) en (2) is een werkzaam ontwerpschema af te leiden voor de architectuurpraktijk. Maar het is nog net wat handiger als we de grootheid (1 - α) uit de formule zouden kunnen werken. Figuur (3) geeft de invloed weer als we de grootheid uitzetten tegen de absorptiecoëfficiënt. In de linker figuur zien we dat de verschillen gering zijn voor waarden onder 15%.
 |
 |
Figuur 3: De invloed van de term (1 - α). De grijze rechte lijn geeft een direct verband en dient slechts om het verschil duidelijk te maken t.o.v. de rode lijn. In de rechter figuur staat dezelfde rode lijn uit, maar nu zijn zowel de horizontale als de verticale as logaritmisch uitgezet.
Als de grootheden logaritmisch worden uitgezet ontstaat de rechter figuur. De rode curve is een kromme lijn. Als alleen de invloed van α wordt uitgezet ontstaat de zwarte lijn, die een helling vertoont van 10 log.
De rode curven uit figuur 3 zien we terug in figuur 4. Figuur 4-links is een herhaling van figuur 1; figuur 4-rechts is een herhaling van figuur 2. Het enige verschil is dat in figuur 4 langs de horizontale as de simpeler grootheid A/N is uitgezet, maar dat moeten we bekopen met een minder eenduidig beeld. Als nl. het aantal sprekers wordt gewijzigd, verandert A automatisch mee. Maar daartoe moet een andere waarde van α worden gebruikt, zodat de curven niet meer zo mooi over elkaar vallen.
 |
 |
Figuur 4: De waarden van U50 (getrokken
lijnen) en DS (stippellijnen). In de linker figuur bedragen de
afmetingen 32 × 25 × 4.5 m3. Er is (net als in figuur
1) geen noemenswaard verschil tussen U50 en DS.
Rechts zijn de afmetingen 8 ×
6.25 × 3.2 m3. Daar lopen U50
en DS wel uiteen.
3.2 Een poging tot een simpele formule
Thans wordt een poging gedaan om de spraakverstaanbaarheid te vangen in een simpele formule die alleen afhangt van de (gecorrigeerde) afstand en de grootheid A/N. Figuur 5 geeft de curven van U50 plus een stippellijn die per definitie als rechte lijn is gekozen om een simpele formule te kunnen introduceren. De gebruikte formule luidt:
|
|
(7) |
 |
 |
Figuur 5: De curven voor U50 zoals eerder gegeven in figuur 4 (rood, groen en blauw). In de figuur is ook formule (15) uitgezet als zwarte stippellijn. Om het aantal curven te beperken zijn de waarden voor DS uit figuur 4 weggelaten.
Om een grotere chaos aan curven te beperken zijn de curven voor DS uit figuur 4 weggelaten. Zij zijn echter wel degelijk gebruikt om de zwarte stippellijnen te fitten. Sterker nog: de overeenkomst tussen de stippellijn en DS is in de rechter beter dan de correlatie tussen de zwarte stippellijn en U50.
3.3 De onnauwkeurigheid en de toepasbaarheid van de formule
Het zal duidelijk zijn dat formule (15) zich niet leent voor een nauwkeurige schatting van de spraakverstaanbaarheid in een specifieke situatie. De volgende overwegingen spelen een rol:
De verschillen in figuur 4 lopen op tot 2 dB.
Via curve-fitting kunnen de getallen 13 en 18 uit formule (7) tot in vele cijfers achter de komma worden becijferd. Dat is in dit geval ook daadwerkelijk gedaan. Maar ook dan zijn er telkens 6 curven (rood, groen en blauw voor DS en U50) die ieder een iets ander waarde opleveren. De waarden 13 en 18 zijn afgeronde waarden en daarbij is ook nog "op het oog" gewerkt.
De curven geven de waarden voor een "gemiddelde gewenste" spreker. In individuele gevallen zijn afwijkingen van een paar dB te verwachten.
De verdeling van absorberende materialen over de ruimte is steeds homogeen verondersteld. Dat is in de praktijk zelden of nooit het geval. Met name in sportzalen zijn daardoor de verschillen tussen berekeningen en metingen van de nagalmtijd berucht. Echter, het ruisniveau is veel minder afhankelijk van een inhomogene verdeling, zodat de onnauwkeurigheid beperkt blijft. Maar of die 1, dan wel 3 dB bedraagt is niet te zeggen.
In de site wordt nogal eens gesteld dat de afstandsterm van Barron beter is dan die van de Sabine-Franklin-Jaeger-theorie die hier is gebruikt. Het verschil tussen beide methoden valt hier echter mee, zoals enkele numerieke berekeningen hebben aangetoond. Barron voorspelt een hoger geluidniveau bij de bron en een lager geluidniveau op afstanden groter dan de gemiddelde vrije weglengte. Bij een gelijkmatige verdeling van de stoorsprekers heffen de effecten elkaar min of meer op.
Kortom: formule (7) is vooral bedoeld om in het ontwerpgedeelte van deze site algemene uitspraken te kunnen doen.
4. Een ontwerpgrafiek gestoeld op formule 7
Formule 15 is in grafiekvorm gegoten zoals getekend in figuur 6. De figuur dient om een schatting te maken van de spraakverstaanbaarheid in praktijkgevallen en zal op een paar plaatsen worden gebruikt in het ontwerpdeel D van deze website.
Figuur 6: Een ontwerpgrafiek voor de architectuurpraktijk.
Voor een bepaalde ruimte is het vloeroppervlak gegeven. Het aantal sprekers op dat vloeroppervlak moet worden geschat en dat hangt uiteraard af van de architectonische functie (een druk café? een rustig restaurant? de kantine?). Vervolgens kan het absorberend oppervlak worden berekend of gemeten als de situatie reeds bestaat. Als de resulterende spraakverstaanbaarheid niet bevalt kan de hoeveelheid absorptie worden verminderd of (in de praktijk veel vaker) worden opgehoogd.
