Waarnemer en bron
In deze serie van webpagina's wordt de theorie uitgelegd van de voortplanting van geluid door een ruimte. Dat geluid manifesteert zich in onze hersenen, nadat trillende luchtmoleculen onze trommelvliezen in beweging hebben gebracht [[1]], [[2]]. We gaan er vanuit dat de effectieve geluiddruk de geluidsensatie in onze hersenen het beste manifesteert. Het doel van deze webpagina's is daarom om de effectieve geluiddruk zo goed mogelijk te voorspellen ter plaatse van een waarnemer. Echter, de meeste waarnemers hebben twee oren maar de berekening is hier slechts bij uitzondering stereofonisch / binauraal [[3]]. De mens wordt in dit theoriedeel dus geabstraheerd tot één drukgevoelige mikrofoon.
Aan de bronzijde wordt steeds gewerkt met een "puntbron". Alle geluidvermogen komt daarbij uit één denkbeeldig punt. Dat model werkt in de zaalakoestiek; een menselijke spreker voldoet ruim voldoende aan dat model. De nauwkeurigheid van het model hangt ook af van de afstand tussen bron en mikrofoon. Een viool is op een paar meter afstand wel als een puntbron te beschouwen, maar op een paar centimeter niet. Indien een bron zeer groot wordt, een symfonieorkest bijvoorbeeld, kunnen we eventueel onze toevlucht nemen tot een model bestaande uit meerdere puntbronnen. De afzonderlijk geluiddrukken van meerdere geluidbronnen mogen simpelweg worden gesommeerd.
Diegenen die de volgende afleiding nog onvoldoende grondig vinden zij verwezen naar (bijvoorbeeld) Beranek en Pierce [[4]], [[5]].
De isotrope puntbron
Een puntbron die in alle richtingen even sterk geluid afstraalt wordt een "isotrope puntbron" genoemd. In het akoestisch jargon wordt de term "omni-directionele bron" echter vaker gebruikt. Figuur 1 toont het model. Die bronnen bestaan alleen in theorie, maar toch is het theoretische model vruchtbaar om de akoestische theorie af te leiden. De "anisotrope puntbron" met voorkeursrichtingen (de menselijke spraak, een luidspreker, een muziekinstrument) komt later aan de orde.
Figuur 1: Een isotrope puntbron zendt in alle richtingen evenveel geluid uit.
Stel nu dat de puntbron een continu signaal uitzendt met een akoestisch vermogen W. Dan willen we becijferen wat de geluiddruk is ter plekke van de mikrofoon op een afstand r van de bron.
Daarvoor moet gebruik worden gemaakt van de "intensiteit", aangeduid met de letter Iav. Dat is een lastige grootheid die ook niet altijd even nauwkeurig wordt gebruikt [[6]].
De intensiteit Iav is nu het vermogen door een bepaald oppervlak en heeft een richting [[7]]. Het is dus een vector. Het vermogen is maximaal als de intensiteit loodrecht op het vlak staat. De hoek tussen de normaal en de intensiteit introduceert een cosinusfactor [[8]]. De figuren 2 en 3 maken dat duidelijk.
Figuur 2: De intensiteit geeft het vermogen in grootte en richting door een standaardoppervlak.
Figuur 3: Omdat de intensiteit een richting heeft is er een afhankelijkheid van de stand van het vlak. Als φ gelijk is aan nul, is het vermogen door het oppervlak maximaal. Bij φ = 90º is het vermogen door het oppervlak gelijk aan nul.
Bij ingewikkelde bronnen (een auto bijvoorbeeld die uit meerdere bronnen bestaat) is het totale vermogen door een vlak tamelijk ingewikkeld. Een gewone drukmikrofoon faalt om het effect te meten, maar er bestaan speciale meetinstrumenten die plaatselijk de vector bepalen en alle vectoren kunnen sommeren (integreren) over het oppervlak. Figuur 4 geeft een voorbeeld.
Figuur 4: Het vermogen door een bepaald oppervlak is de som van alle normaalvectoren van de intensiteit.
Bij een ingewikkelde bron kan op sommige plaatsen de vector zelfs naar binnen gericht zijn. De cosinusfunctie wordt dan automatisch negatief.
Het totale vermogen WS door een vlak S kan nu worden geschreven als:
|
|
(1) |
,waarbij Iav en n dus als vectoren worden geschreven. Het inwendig product leidt tot de cosinusfunctie.
De akoestische theorie leert ons nu dat alle uitgezonden vermogen kan worden berekend door een gesloten oppervlak rondom de bron te slaan:
|
|
(2) |
,
Figuur 5: Het vermogen van de bron is gelijk aan de integraal over alle vectoren op een gesloten oppervlak.
We mogen ons gelukkig prijzen dat het vectorenbeeld een stuk simpeler is voor een ideale puntbron. Allereerst staan alle Intensiteitsvectoren radiaal gericht en ten tweede is het oppervlak makkelijk te becijferen. Voor een anisotrope bron zijn niet alle vectoren even groot, maar voor een isotrope bron wel. Dat staat getekend in figuur 6.
Figuur 6: Bij een isotrope puntbron staan alle vectoren radiaal gericht en zijn ze allemaal even groot.
Nu kunnen we de integraal uit vergelijking (2) oplossen:
|
|
(3) |
,
De volgende stap is om I te koppelen aan de geluiddruk. Daartoe doen we een stap terug naar de tijdafhankelijke vector I(t). Dan geldt, net als bij de geluiddruk dat een effectieve waarde kan worden becijferd.
|
|
(4a) |
,Verder geldt:
|
|
(4b) |
,Hierin is p de geluiddruk en v (een vector dus) de deeltjessnelheid. De oplossing van de integraal hangt vooral af van de onderlinge fasen van p en v. In een zuivere staande golf bijvoorbeeld lopen p en v steeds 90º achter elkaar aan. Zo'n verschijnsel transporteert dan ook geen vermogen. In een vlakke lopende golf daarentegen zijn p en v altijd in fase, waardoor v in p kan worden uitgedrukt en een tamelijk simpel verband ontstaat:
|
|
(5a) |
,en dus na oplossing van vergelijking (4a):
|
|
(5b) |
,
Bij het puntbronmodel uit figuur 6 wordt niet voldaan aan de voorwaarde dat de golf vlak is. Met name vlak bij de bron is de kromming van het boloppervlak te sterk en gaat het fout. Op wat grotere afstand [[9]] mag formule (5b) wel worden ingevuld in formule (3). We vinden dan:
|
|
(6) |
,waarbij p ook voor de effectieve geluiddruk staat maar de index eff wordt nu (en in de volgende pagina's) uit gemakzucht weggelaten.
Als de vergelijking wordt omgedraaid staat er:
|
|
(7) |
,waarbij nu ook nog de index puntbron sneuvelt.
Formule (7) is de basis van de zaalakoestiek en alle rekenmodellen maken er gebruik van. Daarbij bekommert zich niemand erom dat de formule niet helemaal correct is. Kennelijk zijn bij metingen nooit significante verschillen gevonden die de theorie op losse schroeven zetten.
De gerichte (anisotrope) puntbron
Er is al eerder gemeld dat de isotrope bron niet bestaat. In de handel is bijvoorbeeld wel een dodekaeder van 12 afzonderlijke luidsprekers, maar zelfs zo'n bron vertoont pieken en dalen, met name vanaf 1000 Hz.
Figuur 7: Een voorbeeld van een poging om een isotrope bron te maken.
Figuur 8: Bij een anisotrope puntbron staan alle vectoren nog wel radiaal gericht, maar zijn ze niet meer even lang.
Het beeld met intensiteitsvectoren uit figuur 8 komt veel meer met werkelijke bronnen overeen. De figuur geeft aan dat de lengte van de intensiteitsvectoren afhankelijk is van de richting.
We nemen nu aan dat formule (5b) mag worden gehandhaafd, maar dat de grootte van p2 nu afhangt van de plaats op de bol. Dat betekent de introductie van twee hoeken φ en ψ om aan te geven dat het een driedimensionaal effect is met hoeken ten opzichte van een horizontaal en een verticaal vlak. Formule (2) is dan te schrijven als:
|
|
(8) |
,
Het is nu gebruikelijk om een richtingscoëfficiënt Q in te voeren die de verhouding geeft tussen de geluiddruk van een isotrope en een anisotrope bron. p2isotroop is dan onafhankelijk van de hoek en mag dus buiten de integraal worden gehaald.
|
|
(9) |
,Nu wordt de isotrope waarde zo gekozen dat geldt:
|
|
(10) |
,
Omdat uiteindelijk veel wordt gewerkt met de logaritme van p2, bestaat er ook een logaritmische variant van Q die vaak DI (van directivity index) wordt genoemd. Er geldt dan:
|
|
11) |
,
De meting en normering van Q is geen sinecure, temeer daar Q ook nog afhankelijk is van de frekwentie. Voor een luidspreker is Q nog wel te bepalen. De speaker kan op een draaitafel worden geplaatst en worden gevoed met een continue toon. Bovendien mag vaak rotatiesymmetrie wordt verondersteld rond de as, zoals eigenlijk al was getekend in figuur 8.
Voor de menselijke stem is een goede meting zeer lastig. Het signaal varieert, sprekers variëren, de frekwentie varieert, enz, zodat alleen globale waarden bekend zijn. Vaak wordt een waarde Q = 2.5 aangehouden in de as van de mond. Die waarde is dan gekoppeld aan het A-gewogen geluidniveau.
Bij rekenmodellen is de straalrichting en daarmee Q van de bron van groot belang. Daarom wordt er veel aandacht besteed [[10]]. Bij Catt-Acoustic wordt bijvoorbeeld een bron gebruikt die "singer_onaxis" wordt genoemd en die wij graag gebruiken voor zalen, klaslokalen e.d. De Q in de as van de mond wordt dan wat lager gekozen omdat een sprekend/zingend hoofd altijd wat beweegt waardoor er een zekere uitmiddeling ontstaat.
[1] Luchtmoleculen bestaan overigens niet. Lucht is een mengsel van 20% zuurstof en 80% stikstof, maar in de akoestiek is er geen verschil tussen die gassen en mag er met luchtmoleculen worden gerekend met een atoomgewicht van 20% maal 32 (zuurstof) en 80% maal 28 (stikstof), hetgeen dus gelijk is aan 28.8.
[2] In onze dromen horen we allerlei geluiden zonder dat de trommelvliezen signaal krijgen aangeboden. Is dat ook geluid? Het blijft hier onbesproken.
[3] Rekenmodellen werken wel degelijk in stereo. De meeste geluidfragmenten op de site moeten dan ook in stereo worden beluisterd.
[4] Leo, L. Beranek, "Acoustics", American Institue of Physics, 1990.
[5] Allan D. Pierce, "Acoustics", Acoustical Society of America, New York, 1989.
[6] Op het web wemelt het van de halve definities. Als het echt netjes moet raadplege men vooral het boek van Pierce. Uit alle verwarring blijkt ook hoe lastig het begrip is.
[7] De letters av slaan op "average". De intensiteit zoals hier gegeven is gemiddeld over de tijd. Die middeling gaat op dezelfde manier als bij de overgang van de tijdafhankelijke p(t) naar de gemiddelde peff. We komen daarop later terug.
[8] Het helpt om de intensiteit te vergelijken met een stromende rivier. Als er een draad van 1 m2 in wordt gehouden kan het vlak worden gedraaid. Als het evenwijdig aan de stroom wordt gehouden, gaat er helemaal geen water doorheen.
[9] Beranek geeft bijvoorbeeld aan wat die afstand is. Binnen 50 cm van een spreker klinkt een snelheidsmikrofoon duidelijk anders dan een drukmikrofoon. Beranek, L..L, Acoustics.
[10] Men raadplege bijvoorbeeld de site van Catt-Acoustic: www.catt.se/users.htm.
