B.10.5
Barrons correctie voor het geluiddrukniveau als functie van de afstand

Korte inhoud van het voorafgaande

In een voorgaande webpagina (B.10.1 Geluiddrukniveau) is het geluiddrukniveau in een ruimte afgeleid als:

(1)

met:

LW	=	akoestisch vermogenniveau van de gebruikte geluidbron
Q	=	richtingscoëfficiënt van de bron
r	=	afstand tussen bron en ontvanger
α	=	gemiddelde absorptiecoëfficiënt van de ruimte
A	=	totaal absorberend oppervlak van de ruimte

 

De rechterkant van de formule bevat twee termen waarvan de eerste het directe geluid vertegenwoordigt. De sterkte is onafhankelijk van de ruimte, maar wordt wel steeds lager indien de afstand toeneemt. De tweede term hangt juist uitsluitend af van de gegevens van de ruimte en niet van de afstand. Figuur 1 toont de twee termen plus hun logaritmische som.

Figuur 1:  De curven uit formule (1). De rode curve geldt indien alleen de eerste term wordt meegerekend, de groene curve is voor de tweede term. Indien beide termen worden opgeteld ontstaat de zwarte curve.

 

Strijdigheid van theorie en praktijk

Zoals elders gesteld is de zwarte curve uit figuur 1 strijdig met de alledaagse ervaring; de curve blijft in werkelijkheid dalen met toenemende afstand. De theorie van Michael Barron, die dat afnemende effect beschrijft, zal thans nader worden verklaard [[1]].

 

In figuur 2 staat de responsie van een ruimte op een puls. Eerst komt het (rode) directe geluid bij de toehoorder binnen, dan het galmveld. Zie daartoe webpagina B.10.1 Geluiddrukniveau.

Figuur 2:  Het model waarbij eerst de directe energie de mikrofoon bereikt en vervolgens de reflecties van de wanden de mikrofoon bereiken.

 

De bijbehorende formule voor het geluiddrukniveau werd daar geschreven als:

(2)

 

Formule (1) is een uitwerking van formule (2). De eerste term binnen de haakjes is precies gelijk in beide formules. De tweede term in formule (1) wordt gevonden als in formule (2) een paar substituties worden uitgevoerd.

Allereerst geldt:

(3a)

en voor de gemiddelde vrije weglengte mfp:

(3b)

 

De aanpak om formules (3a) en (3b) in formule (2) te substitueren stamt uit de jaren dertig van de vorige eeuw. De grootheid t_dir in figuur 1 is dus eigenlijk variabel gekozen en afhankelijk van de afstand r tussen bron en mikrofoon, maar t₀ was dusdanig gekozen dat de bijbehorende afstand gelijk was aan de gemiddelde vrije weglengte mfp, waardoor een vrij simpel verband ontstaat:

(4)

en formule (2) overgaat in formule (1).

 

Nu kiest Barron voor de grootheid t_o de looptijd tussen bron en mikrofoon:

(5a)

zodat formule (3a) overgaat in:

(5b)

De vervanger van formule (1) wordt dus:

(6)

zodat nu ook de tweede term van de afstand afhangt.

Zoals het hoort zijn de twee formules (1) en (6) gelijk indien r = mfp. Het is interessant om te zien dat voor r = 0 geldt:

(7)

In feite is het model uit figuur 1 te tekenen als in figuur 3, waarin de aanvang van het galmveld samenvalt met het direct. Er zit dus geen ruimte tussen direct en galm. In de praktijk klopt dat meestal wel; de reflecties van vloer, stoelen, tafels, e.d. komen vlak na het direct. Slechts op zeer korte bron-mikrofoonafstanden, bijvoorbeeld op 1 m, is er ruimte te onderscheiden. Een voorbeeld staat in B.12.1 rond figuur 6.

Figuur 3:  In Barrons model vallen de aankomst van direct en eerste reflecties samen.

 

Barrons eigen schrijfwijze

Het is ook mogelijk om te schrijven:

(8a)

waardoor:

(8b)

en formule (6) overgaat in:

(9)

Dit is Barrons eigen formule waarbij eigenlijk in het midden wordt gelaten of Eyrings dan wel Sabines nagalmtijd moet worden genomen. Onze afleiding is expliciet gebaseerd op de nagalmtijd van Eyring.

 

Consequenties voor de praktijk, een voorbeeld

In figuur 4 wordt een voorbeeld uitgewerkt door formule (9) uit te zetten als functie van de afstand. Daarbij worden twee situaties doorgerekend voor een laag en een hoog plafond. De geometrische gegevens staan in tabel 1.

 

Tabel 1: Een vergelijking van twee ruimten met hetzelfde vloeroppervlak maar een sterk verschillende hoogte.

	Laag plafond	Hoog plafond
Lengte	20	20
Breedte	20	20
Hoogte	3.5	10
Abs. coeff.	0.32	0.32
Volume	1400	4000
Oppervlak geometrisch	1080	1600
Opervlak absorberend      A	346	512
Nagalmtijd      T	0.65	1.25
Gem. vrije weglengte   mfp	5.2	10

 

Figuur 4: Het geluiddrukniveau in een ruimte van 20 × 20  × 3.5 m³ (links) en in een ruimte waarin de hoogte veel groter is: 20 × 20 × 10 m³ (rechts). De zwarte curven geven de klassieke theorie volgens formule (1); de rode curven staan voor Barrons theorie, formules (6) of (9).

 

De allereerste regel die we afleiden is: bij lage absorptiecoëfficiënten is de invloed van Barrons aanpassing uiterst gering. De verschillen bij 8% tussen de Barroncurven en de conventionele theorie blijven beperkt tot hooguit twee dB. Bij hogere absorptiecoëfficiënten (32%) treden er ineens wel verschillen op.

Indien een ruimte hoger wordt, bij gelijkblijvende gemiddelde absorptiecoëfficiënt [[2]], stijgt het geometrisch oppervlak en daardoor het absorberend oppervlak A. De tweede term in formule (9) wordt daardoor kleiner. Dat gold trouwens ook al in formule (1); ook in de klassieke theorie wordt het geluiddrukniveau lager. Dat is te zien aan de verticale waarde van de zwarte curven, die links hoger liggen dan rechts.

 

In de grotere zaal is ook de gemiddelde vrije weglengte mfp groter. Dat betekent dat de invloed van Barrons theorie daar pas op grotere afstand begint door te werken. In de linker figuur is de rode curve dus lager dan de zwarte boven ca. 6 m; in de rechter figuur geldt dat boven 12 m [[3]]. De rechter situatie hoort meer bij een muziekzaal, inclusief de twee dB verschil op de achterste rij die Barron zelf rapporteerde voor zalen. De linker figuur hoort veel meer bij bijvoorbeeld een restaurant. De vijf dB verschil op grotere afstand van de bron tussen de klassieke theorie en Barron is dan vaak een zegen.

 

Deze webpagina is als pdf te downloaden, klik hier

 

 

---