B.10.1
Het geluiddrukniveau van een continue bron

De geluidsterkte van een continue bron

In een voorgaande webpagina B.6.1 over de nagalmtijd is de responsie van het geluiddrukniveau afgeleid indien in een ruimte een continue bron wordt aangezet en later weer uitgezet. Figuur 1 toont de gevonden curve.

Figuur 1:  De reactie van het geluiddrukniveau in een ruimte indien een continue bron wordt aan- dan wel uitgeschakeld. Voor de verklaring raadplege men het voorgaande stuk.

 

In het huidige deel gaat het niet over de inklink- en uitklinkverschijnselen, maar ligt de nadruk juist op het continue deel. Dat geluiddrukniveau (bijna 70 dB in de figuur) hangt namelijk ook af van de akoestische en geometrische eigenschappen van de ruimte en ons doel is om het niveau hier af te leiden.

 

In deel B.6.1 (formule 31) was de uitklinkcurve (dus in de figuur na 5.5 s [[1]]) afgeleid als:

,

(1)

 

De grootheid β_eyr. hadden we in het voorgaande deel afgeleid als:

,

(2)

waarin dan voor de gemiddelde vrije weglengte mfp geldt:

,

(3)

met:

r      = soortelijke massa van lucht  (1.21 kg/m³ bij 20°)

c      = geluidsnelheid in lucht  (342 m/s bij 20°)

W₀   = akoestisch vermogen van de bron  [watt]

V     = volume van de ruimte  [m³]

S     = totale oppervlak van de ruimte  [m²]

R     = gemiddelde reflectiecoëfficiënt van de ruimte  [-]

p_ref   = de referentiegeluiddruk  (2×10^-5 Pa)

mfp  = gemiddelde vrije weglengte  [m]

 

De grootheid β_eyr. zit in de exponent. Het is de grootheid die het uitklinken bepaalt. Na introductie van de nagalmtijd T werd dan ook geschreven:

,

(4)

Maar het gaat hier nu juist om het continue deel (tussen ca. 3 en 5.5 s) in figuur 1 en daarvoor moet in formule (1) het exponentiële deel worden weggelaten:

,

(5)

Het geheel binnen de haakjes kan nu wat eenvoudiger worden geschreven als een nieuwe grootheid wordt geïntroduceerd:

,

(6)

Dit is het akoestisch-vermogenniveau dat dus het vermogen van de geluidbron uitdrukt in een logaritmische maat. De waarde van W_ref is internationaal genormeerd op W_ref = 10^-12 watt.

We kunnen  formule (5) nu herschrijven als:

,

(7A)

hetgeen wordt gesplits als:

,

(7B)

en door deze splitsing is een sterke vereenvoudiging mogelijk.

ρ×c is gelijk aan 413. Als we daar gemakshalve 400 van maken en de waarden van W_ref en p_ref invullen, is de waarde binnen de haakjes van de laatste term gelijk aan 1, zodat de laatste term verdwijnt en er overblijft:

,

(8a)

Als nu ook nog β_eyr. wordt vervangen volgens formules (2) en (3), staat hier:

,

(8b)

De continue bron produceert dus een akoestisch vermogenniveau L_W. Die grootheid hangt niet af van de ruimte. Een stofzuiger produceert evenveel vermogen in een dode kamer als in een galmkamer, maar het geluidniveau L_p verandert wel doordat R verschillend is.

Een nadeel van de overgang van formule (7a) naar (7b) is dat de dimensies niet meer kloppen. Binnen een logaritme hoort een dimensieloos getal te staan, maar inm formule (8a) en alle volgende staan in de noemer vierkante meters [[2]] .

 

Het is gebruikelijker om niet R te gebruiken maar de gemiddelde absorptiecoëfficiënt α, gedefinieerd door:

,

(9)

Formule (8b) gaat dan over in:

,

(10)

In de meeste tekstboeken wordt dit geschreven als:

,

(11)

We zien hier dus weer een tegenstrijdigheid tussen Eyring (formule 10) en Sabine (formule 11).  We komen daar aan het eind nog op terug.

 

Fouten op korte afstand

De afleiding van formule (1) was (in het voorgaande stuk) gebaseerd op de uitwerking van de integraal:

,

(12)

We voeren nu twee nieuwe variabelen die slechts dienen om de leesbaarheid te vergroten:

,

(13)

en de constante B:

,

(14)

waarbij B vrijwel gelijk is aan 1, zoals uitgelegd bij de formules (7a) en (7b)

Formule (12) gaat nu over in:

,

(15)

De e-macht waarop de berekening is gebaseerd staat in figuur 2 en loopt dus van t = 0 tot oneindig. U wordt in de figuur gerepresenteerd door het blauwe oppervlak.

Figuur 2: De pulsresponsie van de genormeerde geluidenergie indien wordt aangenomen dat de gereflecteerde energie onmiddellijk de mikrofoon bereikt. In werkelijkheid is er altijd een looptijd.

 

Deze integraal was afgeleid voor een bolschil op ruime afstand van de bron. De uitwerking rammelt voor spiegelbronnen op korte afstand. In de figuur staat de responsie van de zaal op een puls. Maar dat beeld is wel merkwaardig, want er is uiteraard een zekere looptijd tussen de bron en de mikrofoon en dan moeten reflecties tegen de wanden een nog langere weg afleggen.

 Om theorie en praktijk beter met elkaar te laten overeenstemmen heeft men in de dertiger jaren voorgesteld om het directe geluid onafhankelijk te behandelen van de reflecties [[3]] [[4]]. Figuur 3 geeft daarom een beeld dat de werkelijkheid beter benadert.

Figuur 3:  Het model waarbij eerst de directe energie de mikrofoon bereikt en vervolgens de reflecties van de wanden.

Eigenlijk deugt de verticale schaal wel voor het blauwe deel van de curve maar niet voor het rode direct. Als daar een puls staat geeft p² het oppervlak van de puls en niet de verticale grootheid. De figuur dient dus vooral als illustratie van de werkwijze.

 

Op het tijdstip t = 0 wordt ter plekke van de bron een puls gegenereerd. Op t = t_dir arriveert de directe puls bij de mikrofoon. Vanaf t = t₀ beginnen de reflecties tegen de wanden bij de mikrofoon binnen te komen. Dat kan worden geschreven als:

,

(16)

De ondergrens van de integraal is dus voorlopig op een arbitraire waarde t₀ gezet in de plaats van t = 0.

Uitwerking van de integraal is weer eenvoudig:

,

(17)

waardoor de logaritmische waarde overgaat in:

,

(18a)

of:

,

(18b)

 

 

Maar wat moeten we eigenlijk invullen voor t₀ ?

In veel boeken komt men als formule tegen:

,

(19)

Dat resultaat wordt gevonden als in formule (18b) t₀ = 0 wordt ingevuld. Dat is merkwaardig. Het betekent namelijk dat de galm eerder binnenkomt dan het directe geluid, zoals getekend in figuur 4.

F1guur 4:  Het gebruik van formule  19 betekent eigenlijk dat de eerste nagalm (in blauw) eerder binnenkomt dan het directe geluid (rood).

 

Het meest voor de hand ligt om t₀ zodanig te kiezen dat het geluid eenmaal heeft gereflecteerd. Dat komt dus min of meer overeen met een afstand die gelijk is aan de gemiddelde vrije weglengte mfp; dus [[5]]:

,

(20)

Maar dan geldt  dus ook:

,

(21)

En dat betekent weer dat formule (18b) kan worden geschreven als:

,

(22)

 

Figuur 5 geeft drie curven die een uitwerking zijn van formule (22). De zwarte curve geldt voor de totale formule. Indien alleen de eerste term binnen de haakjes wordt meegerekend (dus in een dode kamer) vinden we de rode curve. Indien alleen de tweede term mee doet ontstaat de groene curve.

Figuur 5:  Uitwerking van formule 22.

 

Een geluidveld is "diffuus" indien het geluid uit alle richtingen even sterk binnenkomt. In het spiegelbronnenmodel rond een kubus wordt hieraan perfect voldaan. Dat is dus de groene curve in de figuur. In het akoestisch spraakgebruik wordt met het "diffuse veld" meestal dat deel van een ruimte aangeduid waarin de invloed van het directe geluid verwaarloosbaar is. In de figuur geldt dat dus voor afstanden groter dan ongeveer 4 meter.

 

Alweer Sabine versus Eyring

In de formules (10) en (11) constateerden we weer een tegenstelling tussen Sabine en Eyring. Als we in die formules het directe geluid introduceren staat er dus voor de Eyring-versie:

,

(23)

en voor de Sabine-versie:

,

(24)

In een dode kamer met α = 1 is Eyrings versie weer superieur; in formule (23) verdwijnt de tweede term wel, in formule (24) niet. Echter, als in de tweede term (1-α) in de teller wordt toegevoegd, zoals in formule (22) doen beide versies het in dit opzicht goed.

Overigens komt Pierce via een uitgebreide energiebeschouwing uit op de Sabine-variant [[6]].

 

Tot slot: een gerichte bron

Puntbronnen kunnen een richtingsvoorkeur hebben die we eerder hadden aangeduid met de factor Q. Het is gebruikelijk om die in formule (22) in te voeren als:

,

(25)

 

Voor het diffuse veld wordt dus geen richtingsafhankelijkheid berekend. De richtingen lijken wel ongeveer uit te middelen indien over alle spiegelbronnen wordt gemiddeld.

In ray-tracing-modellen van ruimten kan vrij eenvoudig een richtingscoëfficiënt worden geïntroduceerd. Die werkt dan automatisch door voor het gehele veld. Er zijn dan, ook voor het diffuse veld, wel degelijk verschillen te constateren tussen een gerichte en een omni-directionele bron.

 

Deze webpagina is als pdf te downloaden, klik hier

 

 

---