B.1.2
Akoestische energie en vermogen

Signaaltypen: continu en pulsvormig

Onder een "continue bron" verstaan we een bron waarvan het geluiddrukniveau constant is als functie van de tijd. Als we aan een luidspreker een sinustoon toevoeren wordt aan die voorwaarde voldaan (figuur 1). Een ruisbron is ook redelijk continu, maar daar zien we wel degelijk enige kleine schommelingen indien we een geluidmeter in de buurt houden.

Figuur 1:  Een voorbeeld van een continu signaal. De geluiddruk varieert sinusvormig met de tijd, maar op een geluiddrukmeter geeft de rode lijn de constante effectieve geluiddruk. De frekwentie in dit voorbeeld is 100 Hz. De verticale as is arbitrair.

 

Aan de andere kant van het spectrum bevindt zich de "akoestische puls". Dat is juist een zeer kort durend geluid. Een veel gebruikt signaal is bijvoorbeeld een alarmpistool. Maar ook een doorgeprikte ballon of iemand die in de handen klapt levert een pulsvormig geluid. Een voorbeeld van een puls staat gegeven in figuur 2. Het toont de overslag van een vonk die wordt gebruikt in schaalmodellen [[1]]. 

Figuur 2:  Een aantal gemeten pulsen veroorzaakt door een vonk. De verticale as is arbitrair want gemeten is de spanning aan de uitgang van een versterker. De verschillende kleuren geven de richting waarin de vonk geluid afstraalt [[2]]

 

Figuur 3 toont een gestileerde vonk. Dergelijke signalen met wat in- en uitslingerverschijnselen horen typisch bij een puls die in bandbreedte is begrensd, bijvoorbeeld doordat het signaal door een oktaaffilter is gehaald.

Figuur 3:  Een puls zoals die in de praktijk ongeveer kan worden aangetroffen.

 

Figuur 4 geeft een wiskundige puls van de geluiddruk. Die bestaat niet in de akoestiek. Bij alle gewone bronnen veren de luchtmoleculen na een positieve drukpuls weer terug waardoor er ook nog een negatieve geluiddruk ten opzichte van de barometrische druk langs de mikrofoon komt. Meestal is het negatieve deel dan ongeveer even groot als het positieve, zoals figuur 2 reeds toonde. Bij de meeste explosies wordt extra gas gemaakt. Dan is er een blijvende verplaatsing van de luchtmoleculen en kan de positieve druk een stuk groter zijn dan de negatieve. Bovendien is de positieve druk onbegrensd, maar de barometrische druk kan uiteraard niet kleiner worden dan nul, zodat de negatieve geluiddruk niet kleiner kan worden dan -10⁵ Pa [[3]].

Figuur 4:  Een wiskundige "diracpuls". Die kan worden geschematiseerd door een rechthoekje waarvan het oppervlak gegeven is. De breedte nadert tot nul, waardoor de amplitude dus oneindig hoog moet worden.

 

Energie

Indien we een hoeveelheid energie willen meten of berekenen kunnen we de integraal uitrekenen zoals we die in het voorgaande deel tegenkwamen. Dan geldt algemeen:

,

(1)

waarbij E_m2 de hoeveelheid energie voorstelt die door een vierkante meter gaat. De dimensie is dan ook J/m² [[4]]. De tijd T geeft de tijd waarover wordt geïntegreerd. Die varieert globaal van 1/8-ste seconde voor de gebruikelijke geluidmeters tot een heel jaar voor verkeers- of vliegtuiglawaai. We komen daarop terug.

 

In een vlakke golf (of op een redelijke afstand van een puntbron) geldt weer de overgang van intensiteit I naar p, zodat we kunnen schrijven:

,

(2)

 

Stel nu dat we de integraal loslaten op het signaal van figuur 3. Dan zien we links in figuur 5 p².

In de rechter figuur staat de "lopende" energie uit. Dat is de waarde indien we telkens integreren van nul tot een gekozen waarde t. Dus in formulevorm:

,

(3)

De totale energie vinden we aan het eind. In wiskundige termen moeten we dan t = ∞ invullen in de bovengrens van de integraal.

 

Figuur 5:  Het kwadraat van de geluiddruk uit figuur 3 (links) en de daaruit berekende energie (rechts).

 

Figuur 6 toont precies dezelfde procedure indien het ingangssignaal een zuivere sinus is zoals die was getekend in figuur 1.

 

Figuur 6:  Het kwadraat van de geluiddruk uit figuur 1 (links) en de lopende energie berekend met formule 3 (rechts).

 

Vermogen

Figuur 5 rechts levert een bruikbare waarde van de energie, maar figuur 6 rechts niet. Daarom wordt bij continue bronnen het "vermogen" gebruikt. Dat verschilt slechts van de energie door het signaal te delen door de tijd waarover wordt geïntegreerd:

,

(4)

Deze grootheid wordt gegeven in W/m².

Indien we weer een "lopende" waarde (naar analogie met formule (3)) willen berekenen, noteren we dit iets anders als:

,

(5)

Als we deze laatste berekening loslaten op de continue sinus van figuur 1 ontstaat het beeld van figuur 7. Indien we de integratietijd in een geluidmeter dus niet te kort kiezen, geeft de meter nu een continu niveau weer.

 

Figuur 7:  Het kwadraat van de geluiddruk uit figuur 1 (links) en het lopende vermogen berekend met formule 5 (rechts).

 

Echter, bij de vermogensberekening van pulsvormige geluuiden ontstaat een dilemma. Immers, als formule (5) wordt toegepast op het signaal uit figuur 3 ontstaat een "opleving" rond t = 0.01, maar daarna zal het signaal continu dalen. Conclusie is dus dat de energie noodzakelijk is voor pulsvormige signalen en het vermogen voor continue signalen.

 

De waarde van T en het equivalente geluidniveau

Een groot deel van de dagelijkse signalen is noch pulsvormig, noch continu. Spraak, muziek, verkeersgeluid, enz. vertonen allemaal een fluctuerende sterkte. Het is gebruikelijk om dergelijke signalen te middelen, hetgeen dus niets anders is dan terugrekenen naar een continue vermogen. De formule lijkt dan sterk op formule (4):

,

(6a)

In logaritmische vorm kunnen we dit schrijven als:

,

(6b)

Figuur 8 geeft een voorbeeld van fluctuerend geluid. Links staat formule (6a) geïllustreerd en rechts formule (6b). De toevoeging eq staat voor equivalent. Het blauwe oppervlak onder de fluctuerende lijn in de linker figuur vertegenwoordigt een bepaalde hoeveelheid energie. Die is precies net zo groot als het oppervlak onder de rode lijn. De energieën zijn dus equivalent. De achtergrond van deze werkwijze is dat de invloed van geluid op de mens het beste te karakteriseren is met de totale energie.

 

Figuur 8:  De middeling van een fluctuerend signaal over 100 s. Links is het kwadraat van de geluiddruk uitgezet. De rode lijn geeft het gemiddelde over dezelfde tijd. Rechts staat hetzelfde signaal uitgezet langs een logaritmische as. De rode lijn geeft hier het niveau van de linker rode lijn; dat is niet de gemiddelde waarde van de rechter niveaus.

 

Eigenlijk is de definitie van het equivalente geluidniveau precies hetzelfde als die van de effectieve geluiddruk. De kortste waarde van T die we in de dagelijkse praktijk tegenkomen is dan ook 1/8-ste seconde, ofwel de stand "fast" op een geluidmeter. Bij "slow" wordt T = 1 s gekozen. Spraak wordt nogal eens gekarakteriseerd door T als 1 of 5 minuten te kiezen, hoewel hier geen eenduidigheid geldt. Voor verkeersgeluid gelden intervallen van 12, 4 of 8 uur voor de dag, avond en nacht. Het lawaai van Schiphol wordt meestal verrekend over een kalenderjaar.

Soms is het onderscheid tussen energie en vermogen wat vaag. Sommige mensen dragen bijvoorbeeld een "noise-dose" meter waarbij de energie wordt vastgelegd als een steeds oplopende dosis [[5]]. Uiteindelijk wordt aan die energie toch weer een maximum gesteld per werkdag, werkweek of werkjaar, zodat toch weer een equivalent geluidniveau ontstaat dat is gelieerd aan het vermogen [[6]].

 

De gebruikte pulsbronnen in de volgende hoofdstukken

In het vervolg van deze site wordt zeer veel gewerkt met pulsvormige signalen. Het directe geluid wordt voorgesteld als een puls en alle reflecties van de wanden zijn eveneens pulsvormig. Echter, gereflecteerde pulsen hebben een langere looptijd van bron naar mikrofoon en komen dus later binnen. Het geheel van pulsen zal in het volgende deel de "pulsresponsie" worden genoemd. De pulsresponsie is in de huidige akoestiek volstrekt onmisbaar [[7]].

 

Iedere puls vertegenwoordigt een hoeveelheid energie. In een later stadium zal de pulssterkte worden genormeerd; hier wordt voorlopig volstaan met een normeringsgrootheid E₀ waarmee alle pulsen worden vermenigvuldigd. We zijn dus eigenlijk slechts geïnteresseerd in de onderlinge sterkte van de pulsen en niet in de absolute waarde [[8]].

Stel nu dat "plotseling", op een tijdstip t = t₀, een hoeveelheid energie ter grootte van E₀ joule door de bron wordt gegenereerd. Dan kan de energie als functie van de tijd worden geschetst als in figuur 9 links. Dat wordt in formulevorm geschreven als:

,

(7)

waarin S(t) een sprong representeert van 0 naar 1 op tijdstip t = t₀.

 

Figuur 9:  Een puntbron stuurt op t = t₀ een hoeveelheid energie uit gelijk aan E₀. De energie vertoont dus een "sprong", geidealiseerd in de linker figuur.

Het kwadraat van de geluiddruk is evenredig met de afgeleide. Dat wordt gerepresenteerd door een ideale "diracpuls". Die kan worden geschematiseerd door een rechthoekje waarvan het oppervlak evenredig is met E₀. De breedte is oneindig smal, waardoor de hoogte oneindig hoog moet worden.

 

Voor een isotrope puntbron was de energie E in het voorgaande theoriedeel gekoppeld aan de geluiddruk p op een afstand r van de bron als:

,

(8)

Maar het gaat ons er uiteindelijk om om p² te berekenen en daaruit het geluiddrukniveau, zodat de formule moet worden omgekeerd. Er geldt dan:

,

(9)

 

Als we nu voor E het signaal van figuur 9 links kiezen en formule (9) toepassen vinden we:

,

(10)

waarin nu een "diracfunctie" verschijnt die rechts in figuur 9 is getekend [[9]].

Zo'n diracfunctie is eigenlijk helemaal niet te tekenen, want het oppervlak is gegeven (en in dit geval gelijk aan E₀), maar de breedte moet oneindig smal worden gedacht en de pulshoogte is daardoor oneindig hoog. Toch wordt in de signaalverwerking de diracpuls met veel vrucht gebruikt.

 

Een energiestoot (zo heet dat) van de bron op een tijdstip t = t₀ leidt tot een puls in p² op afstand r. Die komt later aan en wel op het tijdstip t = t₀ +  r/c waarin c de geluidsnelheid is.

Stel nu dat er, behalve het direct, ook nog een reflectie binnenkomt van een wand, zoals getekend in figuur 10. De reflectie heeft een langere loopweg en komt dus nog later binnen en we zien in het rechterdeel van figuur 10 twee pulsen. Indien de energiestoot van de bron wordt verondersteld op t = 0, kan voor het signaal bij de waarnemer worden geschreven:

,

(11)

 

Figuur 10:  Het direct en een gereflecteerde straal. Het direct legt 4 m af; de gereflecteerde straal r₂ = 5.5 m.

Gemakshalve is de totale term voor de haakjes in formule (11) gelijk aan 1 gesteld.

 

Wanneer faalt het model?

Formule (11) is het zwakste punt in de voorgaande afleiding. Eigenlijk moeten namelijk de geluiddrukken worden opgeteld in plaats van de kwadraten, dus met twee pulsen voor de geluiddruk, zoals reeds in figuur 4 getoond. In formulevorm geldt dan:

,

(12)

waarin K₀ een bepaalde constante is. Hierna kan alsnog het kwadraat worden berekend indien we de energie willen weten. Dan verschijnen beide kwadratische termen uit formule (11), maar nu aangevuld met een kruisterm die "interferentie" introduceert. Figuur 11 geeft een voorbeeld indien in figuur 10 links de directe afstand 2 m is en de gereflecteerde afstand gelijk is aan 2.6 m.

 

Figuur 11:  Twee pulsen met een loopweg van resp. 2.0 en 2.6 m (links). Rechts geeft de interferentie indien een sinusvormige toon wordt uitgezonden door de bron. Als het model uit formule 11 wordt gebruikt vinden we de constante rode lijn.

 

De twee pulsen spreken voor zich. Maar stel nu eens dat de bron een sinusvormige toon uitzendt. Dan leidt het tijdverschil tussen de pulsen tot een faseverschil in de sinussen bij de waarnemer. Er ontstaat een bekend interferentiepatroon met knopen en buiken dat in de rechterfiguur is geschetst als functie van de frekwentie. Het loopwegverschil van 60 cm zorgt voor een knoop bij de halve golflengte die overeenkomt met 285 Hz. De eerste buik verschijnt bij 570 Hz, dan volgt weer een knoop bij 855 Hz, enz [[10]].

Doordat de frekwentieschaal logaritmisch wordt weergegeven lijkt het alsof er steeds meer knopen en buiken voorkomen. Per oktaaf gerekend is dat ook zo. De waarden binnen een oktaaf mogen worden gemiddeld, waardoor het beeld van figuur 12 ontstaat.

Figuur 12:  De waarden uit figuur 11 rechts zijn telkens gemiddeld per oktaaf.

 

Uit figuur 12 valt te constateren dat formule 11 het heel goed doet voor de hogere frekwenties; laagfrekwent ontstaan interferenties die niet goed worden berekend. Het model is dus een hoogfrekwent-benadering. Dat geldt trouwens algemeen voor ray-tracing modellen: hoogfrekwent zijn ze in goeden doen; laagfrekwent kunnen ze de staande-golfpatronen (ook dat is interferentie) niet aan.

 

Deze webpagina is als pdf te downloaden, klik hier

 

 

---