B.3.4
De resonantiefrekwentie van helmholtzresonator en vlakke plaat

1.    De resonantiefrekwentie van een verend systeem zonder wrijving

In webpagina B.3 van deze site worden o.a. "resonatoren" genoemd als mogelijkheid om geluid te absorberen. De belangrijkste typen zijn de "helmholtzresonator" (inclusief de gaatjesplaat)  en de "paneelresonator". In de onderliggende delen B.3.1 t/m B.3.5 wordt wat theorie behandeld en worden rekenvoorbeelden gegeven berekend met een transmissiemodel. De huidige webpagina B.3.4 gaat over constructies waarin een resonantie wordt opgewekt en de bedoeling is dan dat rond de resonantiefrekwentie een systeem ontstaat dat geluid absorbeert.

Een ontwerper van het systeem zal altijd starten met de berekening van die frekwentie, want daar is de absorptie van de resonator maximaal. Echter, een ideaal resonerend systeem absorbeert nog geen geluid; daartoe moet wrijving aan het systeem worden toegevoegd. Voor een klein deel ontstaat die wrijving door de wrijving van de moleculen in de trillende lucht, maar het overgrote deel van deze energetische verliezen ontstaat in absorptiemateriaal (bijvoorbeeld glaswol, steenwol, polyesterwol) dat aan de constructie wordt toegevoegd. Daarmee ontstaat dus een mengvorm van een resonantiesysteem en de speciale absorberende materialen die vooral in de webpagina’s B.3.1 en B.3.3 zijn behandeld.

In webpagina B.3.5 zal de kennis uit de huidige webpagina worden toegelicht met een serie rekenvoorbeelden. Daar komt dan ook de toevoeging van absorberend materiaal aan de orde; de huidige B.3.4 behandelt slechts de theoretische aspecten van de resonantie van het systeem.

 

2.    Een mechanisch massa-veersysteem

Figuur 1 geeft een voorbeeld van een massa-veersysteem. Aan een starre laag wordt een veer bevestigd waaraan een massa hangt. De eigen massa van de veer wordt daarbij verwaarloosd. Indien de massa naar beneden wordt getrokken en wordt losgelaten ontstaat een verend systeem met één bepaalde resonantiefrekwentie.  In theorie duurt die trilling oneindig lang maar in de praktijk zit er altijd wat wrijving in het systeem waardoor het systeem uitdempt.

Figuur 1:  Een massa-veersysteem bestaande uit een massa (rood) en een veer (blauw) die zijn opgehangen aan een onbeweeglijke massa (zwart). Als het systeem in trilling wordt gebracht trilt het altijd bij dezelfde resonantiefrekwentie die wordt bepaald door de massa en de stijfheid van de veer. Een theoretisch systeem blijft tot in het oneindige doortrillen, in de praktijk treedt altijd enige wrijving op waardoor de trilling uitdempt.

 

In deze webpagina wordt de theorie achter een massa-veersysteem niet uitgelegd. Volstaan wordt met het botweg geven van de formule voor de resonantiefrekwentie f_res:

.

(1)

Hierin is m de massa uit figuur 1. C is de "compliantie" van de veer. Dat is niet de stijfheid, maar de omgekeerde waarde daarvan. Een zeer slappe veer heeft dus een hoge waarde van C [[1]]. De grootheid C staat in de noemer van formule (1). Een slapper veer met grotere C leidt dus tot een lagere resonantiefrekwentie.

 

De grootheid C volgt uit de wet van Hooke die stelt dat de uitrekking van een veer evenredig is aan de kracht die op een veer wordt uitgeoefend. Stel bijvoorbeeld dat het systeem van figuur 1 in rust hangt. De zwaartekracht rekt de veer dan uit tot een bepaalde lengte en als we nu de massa wat naar beneden trekken wordt een kracht toegevoegd die we ΔK zullen noemen. De extra uitrekking van de veer noemen we Δl. Er geldt dan:

,

(2)

waarbij C een grootheid is die geven wordt in meter per Newton [[2]] [[3]].

 

3.    De helmholtzresonator

3.1    De resonantiefrekwentie van een helmholtzresonator

De resonantiefrekwentie van een helmholtzresonator kan op dezelfde manier worden afgeleid. Daartoe wordt het model van figuur 2 gebruikt. De massa wordt gevormd door een prop lucht in de "keel" die onsamendrukbaar wordt verondersteld. De veer wordt gevormd door het afgesloten, samendrukbare luchtvolume onder het gat. Of dat model bruikbaar is kan worden geverifieerd door er metingen aan te verrichten. We komen daar later op terug.

Figuur 2:  Het model van een helmholtzresonator. In een plaat is een gaatje geboord waarin zich een luchtprop bevindt (in rood) die onsamendrukbaar wordt verondersteld. De veer wordt gevormd door het samendrukbare luchtvolume onder de plaat (blauw). Het keeloppervlak mag iedere vorm hebben en hoeft dus niet cilindrisch te zijn.

 

De massa m uit formule (1) kan worden geschreven als het volume van de keel vermenigvuldigd met de dichtheid ρ van lucht, gelijk aan 1.21 kg/m³ bij kamertemperatuur. Er geldt dus (zie figuur 2):

.

(3)

 

De berekening van de veerconstante vergt meer werk. Stel dat de luchtprop naar binnen wordt geduwd. De druk in de ruimte neemt toe met ΔP en de toename van de kracht uit formule (2) kan worden geschreven als:

.

(4)

Evenzo kan de toename van Δl uit formule (2) worden geschreven als een toename (dus afname met een minteken) van het volume  ΔV:

,

(5)

waardoor C uit formule (2) kan worden geschreven als:

.

(6)

 

De relatie tussen P en V vormt de basis van de gehele akoestiek. Er wordt in deze site nauwelijks aandacht aan besteed, maar het is nu toch noodzakelijk om erop in te gaan.

In de akoestiek wordt lucht als een ideaal gas beschouwd en metingen hebben in de afgelopen eeuwen aangetoond dat dat tot nauwkeurige resultaten leidt, althans bij de gebruikelijke geluiddrukken. Zo’n ideaal gas wordt gegeven door de formule:

,

(7)

waarin R  een constante is, die afhangt van het gekozen gas; T is de absolute temperatuur. In de tijd van Newton werd aangenomen dat PV bij geluid constant is; de temperatuur blijft dan gelijk en we hebben een zogenaamd "isotherm" proces [[4]]. Dat kan echter alleen als de ontwikkelde warmte tijdens de samendrukking wordt afgevoerd en dat blijkt in lucht onmogelijk; waar zou die warmte heen moeten? Geluidtrillingen zijn dus eerder een "adiabatisch" proces waarbij de warmte niet wordt afgevoerd en de temperatuur varieert met de luchttrillingen.

De thermodynamica leert dat een adiabatisch proces kan worden geschreven als:

,

(8)

waarin γ = 1.4 als de verhouding van c_p en c_v.

Formule (8) kan worden gedifferentieerd hetgeen levert:

.

(9)

en na omwerking:

.

(10)

Nu kan formule (6) worden geschreven als:

,

(11)

en de resonantiefrekwentie volgens formule (1) blijkt gelijk aan:

.

(12)

 

Formule (12) kan in de literatuur in allerlei gedaanten met allerlei notaties worden gevonden. Eén mogelijkheid willen we hier noemen. Het verband tussen P en V uit formule (8) leidt namelijk ook tot de geluidsnelheid. Na omzetting van V tot de soortelijke massa ρ kan die worden geschreven als:

,

(13)

zodat formule (12) overgaat in:

.

(14)

Onder het wortelteken blijft dus alleen de geometrie van de helmholtzresonator over. Het getal 54.5 geldt bij de gemiddelde luchtdruk en dichtheid op zeeniveau en bij kamertemperatuur. Onder die voorwaarden is de geluidsnelheid gelijk aan 342 m/s. In Newtons afleiding voor de geluidsnelheid (het isotherme proces) ontbreekt γ, waardoor de snelheid uitkomt op 289 m/s. Bij metingen kwam een waarde van ca. 342 m/s naar voren zodat het model moest worden aangepast door toevoeging van γ.

Er zijn echter wel degelijk processen waarbij wél warmte-uitwisseling plaats vindt, nl. als luchttrillingen plaats vinden met een wand in de buurt. In smalle spouwen bijvoorbeeld ligt de geluidsnelheid daardoor ergens tussen 289 en 342 m/s. Ook in de keel van een helmholtzresonator kan warmte-uitwisseling voorkomen. Zwikker en Kosten vermelden in hun boek uit 1949 [[5]] wel een aanpassing van de geluidsnelheid in de poriën van een absorptiemateriaal maar niet bij een helmholtzresonator.

 

Bij het afregelen van de resonantiefrekwentie bevindt zich een addertje onder het gras. Men zou intuïtief verwachten dat de resonantiefrekwentie omlaag gaat als de grootte van A stijgt. Dan immers neemt de massa toe van de luchtprop. Maar A staat in formule (14) in de teller, zodat het omgekeerde effect optreedt. Ook de grootheid s doet de massa toenemen en die staat wél in de noemer. De verklaring staat in de formules (3) en (11). De massa van de prop neemt inderdaad toe met A volgens formule (3), maar het effect wordt tegengewerkt door A² in formule (11). De stijfheid van het luchtvolume stijgt als het oppervlak van de prop toeneemt.

 

In webpagina B.3.1 is uitgebreid stilgestaan bij het begrip "impedantie". Dat kan hier ook worden toegepast waarbij een serieschakeling van de (complexe) massa en veer wordt gebruikt. In formule (6.6) van het boek van Cox en D’Antonio wordt dat nader uitgelegd [[6]]. Daar wordt tevens aan de massa een term toegevoegd die de (zeer kleine) wrijving in de lucht verdisconteert. Bij de berekeningen van de volgende webpagina B.3.5 wordt de impedantie veelvuldig gebruikt, maar hier gaan we er verder niet op in.

 

3.2    De gaatjesplaat als een serie van helmholtzresonatoren

In de praktijk wordt het helmholtzprincipe vaak toegepast in constructies met gaatjesplaten. Er is dan een serie gaatjes in de plaat en de wanden van de volumes worden weggelaten. Er wordt dus verondersteld dat er een symmetrisch systeem ontstaat waarbij de lucht stilstaat in denkbeeldige scheidingsvlakken. Figuur (3) geeft een voorbeeld. Metingen hebben aangetoond dat dat model in de praktijk opgaat.

Figuur 3:  Een gaatjesplaat waarin we een serie helmholtzresonatoren kunnen zien waarvan de tussenschotten zijn weggelaten. Op de symmetrievlakken is de deeltjessnelheid gelijk aan nul, hetgeen ook bij een tussenschot het geval zou zijn.

De onderste laag beweegt niet, dat is bijvoorbeeld een dikke betonnen constructie.

 

Het enige dat in formule (14) hoeft te gebeuren is om de grootheid V uit te drukken in de spouwdiepte d en de afstand van de gaatjes. Bij een vierkant rooster van gaatjes is het volume dan gelijk aan d × L² en de voorgaande formules gaan over in:

.

(15)

De grootheid A/L² is niets anders dan de "openingsgraad" of "perforatiegraad" van de gaatjesplaat. In de praktijk komt men die grootheid vaak tegen. Uit de formule kan men afleiden dat de resonantiefrekwentie daalt bij een afnemende openingsgraad. Dat kan een gewenst effect zijn, maar helaas blijkt er in de praktijk een grens te bestaan. Een voorbeeld staat in de bovenliggende webpagina B.3. Een openingsgraad van 12% gaat prima, een verlaging tot 3% levert ook nog een goed werkend systeem, maar bij een waarde van 0.5% zakt de absorptiecoëfficiënt tot teleurstellende waarden.

Het is wel te begrijpen waarom het misgaat. Bij een gaatjesplaat is de deeltjessnelheid van een invallende geluidgolf nul bij de vaste delen van de plaat. Alle energie in de invallende golf perst zich door het gaatje. De deeltjessnelheid in een gat is daardoor gelijk aan de deeltjessnelheid van de vrije invallende golf gedeeld door de openingsgraad en in het genoemde voorbeeld uit B.3 is er dus een opslingering van respectievelijk 8 maal, 33 maal en 200 maal de vrije snelheid. Het moet dus wel ergens misgaan, al is nauwelijks te voorspellen bij welke openingsgraad het systeem begint te falen. Dat blijkt toch vooral uit metingen.

 

3.3    De helmholtzresonator in 2 dimensies

In de praktijk worden gaatjesplaten zeer vaak toegepast. Maar ook de tweedimensionale variant komt veel voor, waarbij latten evenwijdig aan elkaar op dwarslatten worden bevestigd. Als de latten dan oneindig lang worden gedacht, loodrecht op het vlak van tekening in figuur 3, kan formule (15) simpelweg worden aangepast door de lengte eruit te delen. A representeert dan de spleetbreedte en in plaats van L² moet L (de afstand van de latten) worden ingevuld. Beide grootheden gaan dan in m¹.

 

3.4    Maar kloppen de formules eigenlijk wel?

Het model met een stijve luchtprop is wellicht al te simpel? Bij nameting van de resonantiefrekwentie blijkt het niet volledig te kloppen. Het is wel te begrijpen dat het model het beste werkt als de prop smal is (kleine waarde van A). Bij bredere proppen is een buiging binnen de prop mogelijk. Cox en D’Antonio laten de invloed van de breedte zien door een correctie aan te brengen op de plaatdikte s. Als de diameter van het gat gelijk is aan s moet een correctiefactor worden gebruikt van 1.85. Bij afnemende gatdiameter daalt de correctiefactor tot 1.0 Genoemde aanpassing is verreweg de belangrijkste, maar er zijn nog meer aanpassingen mogelijk [[7]].

 

4.    Een vlakke-plaatresonator

4.1    De resonantiefrekwentie van een oneindige plaat op een luchtlaag

In figuur 4 is een dichte plaat getekend die zich loodrecht op het vlak van tekening oneindig uitstrekt en begrippen als massa en compliantie moeten daardoor per vierkante meter worden uitgedrukt. De plaatdikte is gelijk aan s, de soortelijke massa van de plaat is gelijk aan ρ_plaat. Het volume van de spouw uit de voorgaande formules verdwijnt ook en wordt vervangen door het volume/m² hetgeen uiteraard niets anders is dan de spouwdiepte d.

Figuur 4:  Een vlakke-plaatresonator bestaande uit een gesloten massa (gearceerd) die veert op een luchtlaag (blauw). De onderste laag beweegt niet, dat is bijvoorbeeld een dikke betonnen constructie.

 

Formule (13) gaat nu over in:

,

(16)

met m in kg/m². Evenzo gaat formule (11) over in:

,

(17)

waarbij nu dus eigenlijk de stijfheid van de verende luchtlaag per m² wordt uitgedrukt, zodat de compliantie geschreven wordt als m³/N.

 

Tot slot gaat formule (15) over in:

,

(18)

met m_plaat de massa per oppervlakte van de resonerende plaat. Dat is in de akoestiek een veel gebruikte materiaalgrootheid, met name bij de berekening van de geluidisolatie van voorzetwanden. De factor 60.0 verschijnt in plaats van 54.5 uit formule (15) omdat nu de soortelijke massa van lucht ontbreekt. Er ontstaat dus een verschil van een factor √1.21.

 

4.2    Een vergelijking van twee constructies in een rekenvoorbeeld

In tabel 1 worden een gaatjesplaat en een vlakke-plaatresonator van hout met elkaar vergeleken, gebruikmakend van de formules (15) en (18). De correctieterm voor de luchtprop in een gaatje is niet meegerekend. 

 

Tabel 1:  Een rekenvoorbeeld van een gaatjesplaat vergeleken met een vlakke-plaatresonator.

	gaatjesplaat formule 15	vlakke-plaatresonator formule 18
plaatdikte s  [mm]	20	20
spouwdiepte  d  [mm]	100	100
soort. massa lucht  [kg/m3]	1.21
soort. massa hout  [kg/m3]		800
openingsgraad	10%	0
luchtdruk  [N/m2]	1.01 × 105	1.01 × 105
γ  [--]	1.4	1.4
resonantiefrekwentie  [Hz]	385	47

 

Veel grootheden zijn in beide gevallen gelijk. Het belangrijkste verschil zit in de dichtheden. Voor hout moet 800 kg/m³ worden ingevuld; voor een gaatjesplaat geldt de dichtheid van lucht gedeeld door de openingsgraad wat in dit voorbeeld dus gelijk is aan 12.1 kg/m³.

De resulterende resonantiefrekwentie voor een gaatjesplaat bedraagt 385 Hz, die voor een houten plaat is gelijk aan 47 Hz. Die laatste frekwentie komt voor in muziek maar niet in spraak. Daardoor worden in de dagelijkse praktijk van klaslokalen, restaurants, enz. gaatjesplaten of lattenconstructies veel gebruikt, maar vlakke-plaatresonatoren niet. Die komt men tegen in muziekzalen, studio’s en huiskamers van muziekliefhebbers. Maar er zijn in de bouwpraktijk ook "toevallige" vlakke-plaatconstructies in de vorm van gipsplaten-plafonds en houten vloeren.

 

5     Maar zonder wrijving geen geluidabsorptie

In het mechanische voorbeeld van figuur 1 zagen we dat het systeem oneindig lang doortrilt als er geen wrijving in het systeem zit. Om demping te bereiken moet de trillingsenergie worden omgezet in warmte. In figuur 1 wordt dit meestal bereikt door een vloeistofcilinder toe te voegen tussen de massa en de harde wand. In de cilinder zitten gaatjes waardoor vloeistof heen een weer wordt gepompt als de massa trilt. De viscositeit van de vloeistof wordt zodanig gekozen dat er maximale warmte ontstaat.

In een auto wordt zo’n demper vaak "schokbreker" genoemd maar dat is eigenlijk een foute term. De "schok" van een gat in de weg wordt nl. opgevangen door de veer en in een systeem zonder demping blijft de auto vervolgens langdurig natrillen. Er wordt dus eigenlijk een "trillingsdemper" gebruikt om het doorveren te beperken tot ca. één periode.

 

Ook in een helmholtzresonator of een vlakke-plaatabsorber is wrijving noodzakelijk en die is niet van nature aanwezig. Bij de resonantiefrekwentie wordt door de resonator een geluiddruk opgewekt die tegengesteld is aan de invallende geluiddruk. In jargon: de impedantie van de constructie wordt dan gelijk aan nul. De totale geluiddruk aan de voorkant van de plaat nadert daardoor ook tot nul. Dat lijkt goed nieuws en in sommige gevallen is dat ook zo: helmholtzresonatoren worden bijvoorbeeld gebruikt in de wand van een motoruitlaat om het uitgestraalde geluid te beperken.

Echter, in de ruimteakoestiek streeft men naar geluidabsorptie en dan is het effect onbruikbaar. Een druk gelijk aan nul aan een grensvlak betekent dat de reflectiecoëfficiënt gelijk is aan -1 en dat is voor het geluidniveau in de ruimte net zo schadelijk als een harde muur met een reflectiecoëfficiënt gelijk aan +1 [[8]]. Er ontstaan zowel bij -1 als bij +1 staande golven in de ruimte; slechts de plaats van de knopen en de buiken is verschillend.

Om geluid te absorberen moet worden gestreefd naar een reflectiecoëfficiënt gelijk aan nul, waardoor de geluidgolf als het ware in de constructie verdwijnt. De impedantie van de resonator wordt gelijk aan die van lucht. Dat wordt bereikt door wrijving aan de constructie toe te voegen, meestal in de vorm van minerale wol of akoestisch schuim achter de vlakke plaat of de gaatjesplaat. Alleen dan wordt het akoestisch vermogen van een invallende geluidgolf omgezet in warmte.

Overigens zit er in een constructie altijd wel wat spontane wrijving. Een vlakke plaat is altijd gespijkerd op rachels en dat geeft enige wrijving. Ook de moleculen in de keel van een helmholtzresonator bewegen dusdanig heftig dat luchtwrijving onvermijdelijk is. Bij de gebruikelijke gaatjesplaten met een gatdiameter in de orde van een paar millimeter tot een centimeter is dat effect gering. Maar bij veel kleinere diameters (microporeuze materialen) kan het effect aanzienlijk zijn. Die materialen ziet men in de praktijk dan ook wel toegepast zonder extra absorptiemateriaal al blijft het vrijwel onmogelijk om 100% absorptie te halen.

 

Deze webpagina is als pdf te downloaden, klik hier