B.13
Nagalmcurven in rechthoekige ruimten

1.    Korte inhoud van het voorafgaande

Rond 1900 ontwikkelde Sabine een formule voor de nagalmtijd in ruimten. De formule is zeer eenvoudig en vraagt slecht twee invoergrootheden: het volume van de ruimte en het totaal absorberend oppervlak van alle begrenzende vlakken. Een voorbeeld van zo’n berekening staat in webpagina "B.4 Absorptie in tabelvorm". Sabines formule is met vrucht toegepast bij het ontwerp van Boston Symphony Hall, maar Sabine was ook gevraagd om de herrie in de kantine van zijn universiteit te beteugelen. Dat probleem draait vooral om het geluiddrukniveau, een mooie nagalm is niet direct een eerste vereiste voor kantinebezoekers. Sabines publicaties bevatten een eerste aanzet tot de berekening van het geluiddrukniveau maar hij komt er niet helemaal uit. Pas dertig jaar later komen Franklin en Jaeger op het idee om een splitsing aan te brengen tussen het directe geluid en het galmveld, zie daartoe webpagina "B.1 Stralenmodel" en dan vooral figuur 5. In een bespreking van de theorieën vat Pierce alles samen tot de "Sabine-Franklin-Jaeger-theorie". Die term, vaak afgekort tot SFJ-theorie komt op vele plaatsen in deze site voor.

Ten opzichte van de formule voor de nagalmtijd worden aan de drie SFJ-grootheden twee extra variabelen toegevoegd om het geluiddrukniveau te behandelen. Allereerst moet de afstand tussen bron en waarnemer bekend zijn en ten tweede is het bronvermogen noodzakelijk. Als er bijvoorbeeld harder wordt gesproken gaat ook het geluiddrukniveau omhoog; de nagalmtijd trekt zich daarentegen niets aan van de bronsterkte.

De SFJ-theorie voorspelt dat het geluidniveau van het galmveld (dus zonder direct geluid) constant is over alle mikrofoonpunten in een ruimte. Uit metingen blijkt dat die aanname onjuist is en zo ontstaan vanaf ca. 1970 gecorrigeerde modellen, culminerend in het model van Barron dat wordt beschreven in webpagina "B.10 Afstand bron-waarnemer" en de onderliggende theorie-pagina "B.10.5 Barrons afstandsformule". Het goede nieuws is dat in Barrons correcties geen nieuwe variabele wordt geïntroduceerd, in het galmveld wordt slechts de bron-waarnemer-afstand toegevoged. Zowel het galmveld als het directe geluid zijn het sterkst bij de bron en nemen af met toenemende bron-mikrofoon-afstand. De daling van het directe geluid is echter veel sterker dan van het galmveld. In webpagina B.11, figuur 7 worden beide effecten in beeld gebracht.

 

2.    Waarom gaat de SFJ-theorie soms fout?

2.1    Probleem 1: De effectiviteit van absorberend materiaal

In de SFJ-theorie wordt gerekend met één gemiddelde absorptiecoëfficiënt. Dat betekent dus dat het niet van belang is waar absorptie wordt aangebracht; een vierkante meter absorptie op het plafond recht boven de bron absorbeert even goed als eenzelfde oppervlak in een hoek van de ruimte. Die aanname blijkt nogal eens onjuist en dat werkt door in zowel de nagalmtijd als in het geluidniveau. Figuur 1 laat zien wat er misgaat in een langwerpige ruimte.

Figuur 1: De geluidenergie (in rood) door een virtueel vlak in een langwerpige ruimte.

 

We veronderstellen een geluidbron plus een mikrofoon in een ruimte. Door een virtueel vlak stroomt geluidvermogen dat door de wanden aan de rechterzijde wordt geabsorbeerd. Indien de maat D wordt vergroot, stijgt het totaal absorberend oppervlak van de ruimte en daalt, volgens de SFJ-theorie, het geluiddrukniveau ter plaatse van de mikrofoon. Voor kleine waarden van D klopt dat ook, maar het is wel aan te voelen dat de afname van het vermogen door het virtuele vlak geen gelijke tred houdt met een steeds maar toenemende waarde van D. Er is een theoretisch maximum waarbij het gehele bronvermogen door het vlak stroomt. Het werkzame absorberende oppervlak rechts van het virtuele vlak is dan dus kleiner dan voorspeld.

 

2.2    Probleem 2: "De" nagalmtijd bestaat niet

Ook bij de nagalmtijd treden er soms grote verschillen op tussen de waarden voorspeld met de SFJ-formule en metingen.  Dat heeft geleid tot een stortvloed aan correctie-formules. In de website "strutt.arup.com" worden 11 alternatieven genoemd [[1]]. En dan wordt een heel belangrijke nog vergeten; er is nl. een officiële norm: NEN 12354-6. Eigenlijk is geen van die formules in staat om een voorspelling van de nagalmtijd te geven over een breed toepassingsgebied.

In een afstudeerverslag aan de TU Eindhoven doet Van Oeffelen een onderzoek naar de norm [[2]]. Het is een zeer gedegen en interessante studie, maar de conclusies zijn zeer teleurstellend voor diegenen die dachten één van de twaalf nagalmformules te kunnen gebruiken voor een nauwkeurige voorspelling. In het rapport wordt een vergelijking gemaakt tussen metingen, berekeningen met een aantal van de 12 modellen én berekeningen met Odeon, een numeriek model. Het numerieke model is meer te vertrouwen dan de simpeler modellen, maar ook hier bestaat een één-op-één-relatie niet. Dat klopt ook, numerieke modellen zijn per definitie hoogfrekwente benaderingen, voor lagere frekwenties mag een wand niet meer als een vlakke spiegel worden beschouwd.

Toch zal in de huidige webpagina gebruik worden gemaakt van numerieke modellen. Ze geven wellicht geen nauwkeurige resultaten, maar ze zijn wel in staat om te illustreren waaróm de SFJ-theorie faalt. De discrepanties tussen de SFJ-theorie en gemeten nagalmcurven is ook al aan de orde gekomen in de voorgaande webpagina’s "B.11 Meten nagalmcurve" en "B.12 G & RT uit de nagalmcurve"; in de huidige webpagina B.13, plus de onderliggende theoriepagina’s B.13.1 en B.13.2 gaat het vooral om de invloed van de vorm van de ruimte. Het zal blijken dat de SFJ-theorie uitstekend voldoet voor een kubusvormige ruimte maar faalt als de kubus wordt uitgerekt tot een langwerpige rechthoek. Uiteraard zijn nog andere ruimtevormen mogelijk zoals L-, U- en Z-vormige plattegronden. Die komen aan de orde in webpagina "B.16 Vorm van de ruimte". Een atrium met aanpalende ruimten wordt behandeld in B.18.

   

3.    De invloed van de ruimtevorm en de positionering van absorberende materialen

3.1    De kubus versus de langwerpige ruimte

Om het onderwerp te schetsen wordt gestart met een rekenvoorbeeld; de resultaten staan in figuur 2 weergegeven als vier nagalmcurven. Er wordt gestart met een kubusvormige ruimte van 10 × 10 × 10 m³.  Daartegenover staat een langwerpige ruimte van 40 × 10 × 2.5 m³, dus een ruimte met hetzelfde volume als de kubus. Het zijn beide geen alledaagse ruimten, maar de extreme vormen worden gebruikt om het probleem duidelijk te kunnen illustreren. In de figuur worden de resultaten voor de kubus weergegeven in rood, de langwerpige ruimte wordt in groen getekend. Voor iedere ruimte wordt eerst een berekening uitgevoerd volgens de SFJ-theorie (de getrokken lijnen), daarna volgt een berekening met een spiegelbronnenmodel (stippellijnen).

 

Figuur 2:  Nagalmcurven berekend met de SFJ-theorie (getrokken lijnen) en met het spiegelbronnenmodel (stippellijnen) voor een kubus van 10 × 10 × 10 m3 (rode lijnen) en een langwerpige ruimte van 40 × 10 × 2.5 m3 (groene lijnen). De absorptie is homogeen verdeeld; de absorptiecoëfficiënt is gelijk aan α = 20%. Voor het geluiddrukniveau is gerekend met een bronvermogenniveau L_W = 70 dB, ongeveer overeenkomend met "normale spraak".

 

De berekening van de getrokken lijnen gebeurt volgens de SFJ-theorie. Allereerst wordt het totaal absorberend oppervlak berekend, vervolgens komt een berekening van het geluiddrukniveau op het tijdstip t = 0. Daarbij is het geluidvermogen van de bron gesteld op 70 dB, het vermogen van "normale spraak". De invloed van het directe geluid is weggelaten, alleen het galmveld telt mee [[3]].

De nagalmformule van Sabine geeft de helling waarmee het geluid uitsterft, zodat met het geluiddrukniveau en de nagalmtijd twee rechte lijnen kunnen worden getrokken. In figuur 2 is de nagalmtijd voor de rode lijn gelijk aan 1.35 s, voor de groene lijn vinden we 0.77 s. Dat komt omdat het totale oppervlak (dus ook het totale absorberende oppervlak) bij de langwerpige ruimte een stuk groter is: 1050 m² versus 600 m² voor de kubus, dus een factor 1.75 die ook te zien is in de verhouding van de nagalmtijden en in een verschil van 2.4 dB in het geluiddrukniveau bij t = 0.

 

De rode stippellijn geeft de nagalmcurve in de kubus berekend met het spiegelbronnenmodel. De overeenkomst met de SFJ-theorie is uitstekend. Er zijn kleine verschillen, een nagalmcurve is nooit een perfecte rechte lijn, maar ze zijn verwaarloosbaar voor de praktijk. Echter, de groene gestippelde lijn lijkt in de verste verte niet op de getrokken groene lijn: de helling wordt bij de stippellijn kleiner en bij de getrokken lijn juist groter. Bovendien is de curve zo krom dat het moeilijk is om van een nagalmtijd te spreken; die vereist eigenlijk een rechte lijn. In webpagina "B.11 Meten nagalmcurve" is dat probleem al eerder behandeld.

 

3.2    Enkele resultaten uit de theoretische subpagina’s B.13.1 en B.13.2

Het "doorzakken" van de groene stippellijn uit figuur 2 is goed te verklaren. Maar om het effect te berekenen is kennelijk lastig, anders bestonden er geen 12 verschillende modellen. Voor zover valt na te gaan zijn alle modellen gebaseerd op het opsplitsen van de rechthoekige ruimte in de drie hoofdrichtingen. Dat is ook de methode die wij in de webpagina’s B.13.1 en B.13.2 hebben gevolgd bij berekeningen met het numerieke spiegelbronnenmodel. We zullen hier trachten de methode toe te lichten door enkele resultaten uit die webpagina’s te herhalen.

 

Er wordt gestart met figuur 4 uit B.13.1 waarin een tweedimensionale ruimte wordt geïntroduceerd. Dat wordt gedaan om makkelijker te tekenen en om lengte en breedte te kunnen variëren. Maar nog belangrijker is de toekenning van absorptie aan verschillende vlakken om daarmee beide richtingen onderling te kunnen vergelijken. In een 3D-ruimte is dat veel lastiger omdat de derde grootheid in dit proces vaak als stoorzender fungeert. Alle formules blijven in 2D gelden, al moet soms een iets andere grootheid worden gebruikt. Webpagina B.13.1 geeft een lijst met formules in 3D en 2D.

Figuur 3:  Een tweedimensionale rechthoekige ruimte met lengte L en breedte B.  De kruisjes staan voor de mogelijke spiegelbronnen. In één dimensie gelden alleen de blauwe óf de rode bronnen; in twee dimensies worden de zwarte bronnen daaraan toegevoegd.

 

In figuur 3 wordt met drie kleuren spiegelbronnen gewerkt. De blauwe en de rode geven de bronnen indien een 1D-situatie wordt doorgerekend, de zwarte bronnen geven het totale 2D-geval. In figuur 4 staan de uitkomsten van de berekende nagalmcurven. 

Figuur 4: Herhaling van figuur 5 uit webpagina B.13.1 met toegevoegde rekenuitkomsten.

Drie nagalmcurven berekend met het spiegelbronnenmodel uit figuur 3. Er is gerekend met L = 20 m en B = 5 m. Voor alle vier de vlakken is de absorptiecoëfficiënt gelijk aan 15%.

De rode en blauwe lijn gelden indien alleen de rode resp. blauwe bronnen uit figuur 3 worden meegerekend. De zwarte lijn geldt indien alle bronnen, rood, blauw en zwart, worden gebruikt in de berekening.

Het geluiddrukniveau wordt uitgedrukt in G (strength), zie daartoe webpagina B.12. Dat is niets anders dan het geluiddrukniveau in figuur 2 maar met een genormaliseerde waarde van het bronniveau in het 2D-geval: L_W = 18 dB.

 

In de rode en de blauwe lijnen zien we een bekend fenomeen: indien de afstanden korter worden stijgt het geluiddrukniveau (de curve bij t = 0). Dat komt doordat de blauwe bronnen in figuur 3 dichter bij elkaar liggen dan de rode. Maar door die kleinere afstand snijdt een blauwe straal in een bepaald tijdvak vaker een oppervlak, waardoor de absorptie meer invloed heeft in de tijd en de curve dus sneller daalt.

In de zwarte curve zien we de vorm terug van de rode en de blauwe curve. Het eerste deel tussen 0 en 0.1 s wordt bepaald door de blauwe curve, daarna overheerst de helling van de rode curve. Het is echter niet mogelijk om de zwarte curve rechtstreeks samen te stellen uit de rode en de blauwe curve: er zijn in figuur 3 simpelweg veel meer zwarte bronnen dan rode en blauwe. Juist daarom hebben alle genoemde alternatieven voor de berekening van de nagalmtijd het zo moeilijk. Er zijn wel degelijk pogingen gedaan om de bijdragen van de zwarte kruistermen mee te rekenen maar dat lukt eigenlijk alleen numeriek.

 

Er is een ander probleem met de modellen: de nagalmtijd is een rechte die gefit wordt aan de kromme zwarte curve. In de figuur is de waarde RT = 3.72 s ingeschreven als er wordt gefit tussen -5 en -35 dB t.o.v. het maximale niveau op t =0. In een ander interval wordt een kortere nagalmtijd gevonden. Met name in het begin is de helling van de zwarte curve steiler.

 

3.3    Een korte verklaring van de indices L en B in de grootheden α_L en α_B

De theorie achter figuur 4 is ontwikkeld in webpagina B.13.1. Daar werd gestart met de rode en blauwe 1D-curven en een bijbehorende formule. Als we bijvoorbeeld alleen de lengterichting L beschouwen, spelen dus uitsluitend de rode spiegelbronnen uit figuur 3 een rol. De bijbehorende absorberende getallen horen dan bij de korte zijden B. Dat kan in het 2D-model van de rechthoek makkelijk tot verwarring leiden en verwisseling van de indices is een mogelijkheid. Toch wordt dat hier niet gedaan. De absorptie in de lengterichting L wordt gekarakteriseerd door de absorptie op de korte zijden B, maar wordt aangeduid met α_L en omgekeerd voor de richting B. In drie dimensies blijkt waarom onze aanpak consequent is. Daar hoort α_L bij het oppervlak B × H, dus loodrecht op de lengterichting L. Eenzelfde combinatie is α_B met H × L, en α_H met L × B [[4]].

 

3.4    Manipulatie van de nagalmcurve d.m.v. aangepaste absorptieverdeling

De helling van de zwarte curve in figuur 4 na t = 0.1 s wordt grotendeels bepaald door de rode curve. Het ligt dus voor de hand om de rode curve te manipuleren om de nagalmtijd omlaag te brengen. Dat kan door de absorptie van de korte zijden op te voeren. In webpagina’s B.13.1 en B.13.2 wordt aangetoond dat de hellingen van de blauwe en de rode curve min of meer gelijk zijn als de verhouding van de absorptiecoëfficiënten omgekeerd evenredig is met de afmetingen. Dus 20% op de lange zijden van 20 m moet overeenkomen met 80% op de korte zijden van 5 m. Anders gezegd: het absorberend oppervlak (of in 2D liever: absorberende lengte) op de korte zijden moet gelijk zijn aan die van de lange zijden.

 

Figuur 5:  Nagalmcurven ter vergelijking van een ruimte met homogene verdeling van de absorptie (links, een kopie van figuur 4) met een ruimte waarin de absorptie is verdeeld om de nagalmtijd te minimaliseren (rechts).

 

Figuur 5-links dient voor de vergelijking en is niets anders dan een kopie van figuur 4. Alle absorberende lijnen hebben een absorptiecoëfficiënt van 15%. In de rechter figuur blijft de absorptiecoëfficiënt van de lange zijden gelijk aan 15%. De blauwe curve is daarom links en rechts gelijk. De absorptiecoëfficiënt van de korte zijden (let op: dat is dus α_L) wordt opgevoerd tot 60%, dus vier maal zo groot omdat B viermaal zo klein is als L. De rode curve wordt nu voor een groot deel uitgeschakeld omdat die onder de blauwe curve komt te liggen. De zwarte curve blijkt flink te dalen, G is rechts 3.4 dB lager dan links. Echt spectaculair is de daling van de nagalmtijd: de verhouding tussen links en rechts is een factor 4. Dat is overigens strijdig met de SFJ-theorie. Als RT en G volledig gekoppeld zouden zijn zou een factor 4 in RT overeenkomen met een daling van 6 dB in G.

 

Maar de vergelijking is niet helemaal eerlijk. De hoeveelheid absorptiemateriaal op de lange zijden blijft gelijk, maar die op de korte zijden stijgt van 1.5 m¹ (= 2 × 5 × 0.15) in de linker figuur naar 6.0 m¹. Daarom wordt de berekening herhaald zodat links en rechts dezelfde hoeveelheid absorptiemateriaal hebben. Het resultaat staat in figuur 6. De gemiddelde waarde (α_gem) daalt van 24% in figuur 5-rechts naar 15% in figuur 6-rechts. Voor een handige vergelijking is de figuur 6-links weer gelijk aan de figuren 4 en 5-links.

 

Figuur 6:  Herhaling van figuur 5. De linker figuren zijn gelijk, maar rechts wordt de hoeveelheid absorptiemateriaal teruggerekend naar α_gem = 0.15, waardoor de vergelijking eerlijker wordt.

 

De verhouding van de absorptiecoëfficiënten van de lange en de korte zijden blijft 1:4 en rechts is de helling van de rode en de blauwe lijnen weer, zoals in figuur 5-rechts, min of meer evenwijdig. Maar de helling stijgt wel: RT is in figuur 6-rechts 1.60 s tegenover 0.94 s in figuur 5-rechts. Interessant is vooral ook het gedrag van G. Die waarde daalt slechts met 0.8 dB. Hier openbaren zich enkele eigenschappen die we nog vaker zullen tegenkomen:

• G (of het geluiddrukniveau) wordt vooral bepaald door de hoeveelheid absorptiemateriaal. De verdeling over de ruimte heeft een geringe invloed.

• Ook RT is gevoelig voor de hoeveelheid absorptiemateriaal, maar vooral voor de plaats van de materialen. De gevoeligheid is groot; tussen de linker en de rechter figuur zit meer dan een factor 2 in RT_5-35.

• Dat betekent automatisch dat de SFJ-theorie niet voldoet. Daarin wordt alleen rekening gehouden met de hoeveelheid materiaal en niet met de plaats.

 

3.5    Twee voorbeelden van nagalmmanipulatie door middel van de verdeling van absorptiemateriaal

3.5.1      De "straf" voor afwijkingen van de basisregel

In de voorgaande paragrafen is uitgelegd dat (in 2D) een bepaalde hoeveelheid absorptiemateriaal op een slimme manier over de twee richtingen kan worden verdeeld. De voordeligste manier is om de totale hoeveelheid absorptielengte (in 2D) of absorberend oppervlak (in 3D) in alle richtingen gelijk te kiezen en dat betekent dus dat de absorptiecoëfficiënt op de korte zijde van 5 m viermaal zo hoog moet zijn als de absorptiecoëfficiënt van de lange zijde van 20 m. Dergelijke verhoudingen zijn echter vaak onpraktisch of zelfs onmogelijk, zodat nu twee voorbeelden worden behandeld waarbij van de gouden regel wordt afgeweken. Nagegaan wordt welke invloed dat heeft op de nagalmcurven, en zoals vaker is de sportzaal het uitgangspunt. Dat wordt gedaan omdat een sportzaal een extreme vorm heeft. Ze zijn vaak lang in vergelijking met de hoogte en er is meestal zeer weinig verstrooiing. Dat laatste effect komt overigens pas in hoofdstuk 4 aan de orde. De sportzaal is een "worst case" en is juist daarom instructief.

 

3.5.2      Voorbeeld 1:  een gegeven hoeveelheid absorptiemateriaal voor een ruimte

In een sportzaal gelden normen voor de gemeten nagalmtijd indien een zaal wordt opgeleverd. De nagalmtijd stijgt in het normblad met de afmetingen, maar eigenlijk ligt onder die nagalmtijden een norm voor de gemiddelde absorptiecoëfficiënt. Terugrekenen leert dat die varieert van 24% in een sportzaal tot 27 % in een gymzaal. Om die reden wordt in het voorbeeld gerekend met 25% i.p.v. 15% in de voorgaande figuren en in ons eerste voorbeeld van 20 × 5 m² wordt dus gerekend met 12.5 m¹ absorberende lengte (in 2D). De gekozen afmetingen zijn gelijk aan meerdere voorgaande voorbeelden, maar het ligt ook heel dicht bij de standaard gymzaal als de afmetingen een verticale doorsnede representeren.

 

Figuur 7 toont in grafieken de verdeling van die 12.5 m¹ absorptie over beide richtingen. Met het spiegelbronnenmodel is een serie nagalmcurven berekend. De rode en de blauwe curven geven weer de galmcurven in één dimensie en de zwarte curven tellen alle mogelijke spiegelbronnen mee; zie figuren 3 en 4 voor uitleg. De serie is gestart met 5% op de korte zijde en loopt stapsgewijs op tot 90%. Er worden uit die serie vier interessante grafieken getoond met α_L (dus op de korte zijde) gelijk aan 30, 40, 60 en 90%.

 

Figuur 7: Nagalmcurven in 2D (zwart) in een ruimte van 20 × 5 m² bij verschillende verdelingen van de absorptie. De totale hoeveelheid is steeds gelijk gehouden aan 12.5 m¹, resulterend in een gemiddelde absorptiecoëfficiënt van 25%. Toegevoegd is een lichtblauwe normcurve die volgt uit de berekeningen van G₀ en RT volgens de SFJ-theorie.

 

De volgende punten vallen op:

• In de figuren staat telkens een normcurve, de dikke blauwe lijn. Als α_gem = 25% kunnen met de SFJ-theorie G₀ en RT (in 2D) worden berekend als 12.0 dB en 1.03 s.

• Het verschil tussen G en G₀ valt alleen uit te leggen met formules; dat is gedaan in webpagina B.13.2. Hier zij vermeld dat het bovenste horizontale lijntje moet raken aan de normcurve voor een uitstekende overeenkomst tussen de numerieke uitkomsten en de SFJ-theorie. De waarden van G zijn dan automatisch wat lager dan die van G₀.

• In de figuur linksonder wordt vrijwel voldaan aan de verhouding 4:1 tussen beiden absorptiecoëfficiënten α_L en α_B. De zwarte curve ligt ruim onder de normcurve. Voor een deel wordt dit verklaard doordat de sabine-variant is gekozen voor de normcurve. De theorie van Eyring leidt altijd tot een lagere nagalmtijd en dus een steilere curve. Maar ook als eyring wordt gekozen voor de blauwe normcuve voldoet deze ruimte  uitstekend aan de norm.

• Verder opvoeren van α_L tot 90% (rechtsonder) heeft nawelijks zin. De nagalmtijd stijgt t.o.v. linksonder, maar  de waarde van G is wel nog een spoortje beter.

• Indien α_L = 40% (rechtsboven) stijgt G slechts 0.3 dB. Dat betekent dat deze ruimte vrijwel net zo goed is als de ideaalcurve linksonder als het "lawaai" in de zaal belangrijker is dan de nagalm.
  Echter de berekende nagalmtijden stijgen uit boven de normwaarden en deze zaal zal dus worden afgekeurd, ondanks dat de curve tijdens de eerste 25 dB afval niet boven de normcurve uitstijgt. We komen op dit dilemma later terug.

• Indien α_L = 30% (linksboven) is de waarde van G slechts met 0.6 dB gestegen t.o.v. de normcurve. Maar de waarde van RT is gestegen tot 1.55 s en ligt dus ruim boven de vereiste 1.03 s.

• De curve boven t = 0.2 s wordt geheel bepaald door flutters, hier zichtbaar als trapjes. Wellicht kan verstrooiing of een scheef geplaatste wand dit geval nog redden. Dat onderwerp wordt nader behandeld in hoofdstuk 4 e.v. van de huidige webpagina B.13 en in "B.15 Wanden in een sportzaal". Het hier gebruikte spiegelbronnenmodel kan geen verstrooiing aan.

 

3.5.3      Voorbeeld 2:  een ruimte met "plafond"-absorptie

Als een 2D-ruimte van 20 × 5 m² wordt gedacht als een verticale doorsnede, kan de absorptie op één van de lange zijden als een soort plafondabsorptie worden beschouwd. In figuur 8 wordt gesimuleerd dat er een plafond aanwezig is van 85% en een vloer van 5%, waardoor het spiegelbronnenmodel rekent met 45% als gemiddelde waarde. In dit voorbeeld wordt nu de absorptie van "plafond+vloer" constant gehouden op α_B = 45%. De absorptie op de korte wanden (α_L) wordt gevarieerd. In figuur 8 worden vier gevallen getoond: α_L = 20, 30, 40 en 50%.

 

Figuur 8:  Nagalmcurven in 2D (zwart) in een ruimte van 20 × 5 m² bij verschillende verdelingen van de absorptie. In figuur 7 was de totale hoeveelheid steeds gelijk gehouden aan 12.5 m¹. Nu is absorptie van de lange zijden gelijk aan 45%, het gemiddelde tussen 5% voor de "vloer" en 85% voor het "plafond". De absorptiecoëfficiënt van beide korte zijden varieert van 20% linksboven tot 50% rechtsonder.

 

Het commentaar bij de figuren is als volgt:

• Doordat de absorptie in verticale richting steeds gelijk is aan 45% ligt de blauwe curve vast.

• De blauwe curve ligt bij t = 0 steeds boven de rode en heeft daardoor het grootste aandeel in de waarde van G. De rode curve daalt met oplopende α_L. Dat heeft wel degelijk enige invloed op G die daalt van 9.3 dB (linksboven) tot 7.3 dB rechtsonder.

• De gemiddelde absorptiecoëfficiënt is flink wat hoger dan de 25% die in figuur 7 als input was gebruikt. Daardoor zijn de G-waarden ook gunstiger. In figuur 7-linksonder was G = 10.6 dB, in figuur 8 is dat 2 à 3 dB lager. Dat is een mooie winst, want een verlaging van 3 dB staat voor een halvering van de geluidenergie.

• Maar daarvoor moet letterlijk een prijs worden betaald: er moet meer absorptiemateriaal worden aangeschaft.

• Het is lastig om de normwaarde voor de nagalmtijd te halen. Zelfs linksonder is de nagalmtijd tussen -5 en -25 dB gelijk aan 1.12 s, dus boven de vereiste 1.03 uit de gestelde normcurve. Pas rechtsonder wordt de norm gehaald. Maar dan is de gemiddelde absorptiecoëfficiënt 46%, bijna het dubbele van de vooraf gestelde 25%.

 

3.6    Een dilemma:  deugt de nagalmtijd wel als normstelling?

Al enkele malen zijn er problemen aangestipt als de meet- of rekenresultaten worden vergeleken met de norm voor de nagalmtijd. In "B.12 G en RT", hoofdstukken 4 en 5 worden voorbeelden gegeven van doorhangende gemeten curven die worden getoetst aan een rechte SFJ-normcurve en ook in subpagina B.13.2 wordt er aandacht aan besteed. We komen er hier op terug aan de hand van figuur 7-rechtsboven en figuur 8-linksonder die in figuur 9 worden gekopieerd.

 

Figuur 9:  Twee figuren gekopieerd. Links is gelijk aan figuur 7-rechtsboven. Rechts is een kopie van figuur 8-linksonder. Beide zwarte nagalmcurven voldoen niet aan de genormeerde nagalmtijd van 1.03 s.

 

Beide figuren hebben een absorptiecoëfficiënt van 40% op de kopse zijden. De linker figuur heeft 21 % op beide zijden, of 5% op de vloer en 37% op het plafond; de rechter figuur heeft 5% en 85% op vloer en plafond. De gemiddelde absorptiecoëfficiënten zijn daardoor 25% (links) en 44% (rechts).

Beide zwarte curven hebben een manco: de nagalmtijden liggen met 1.11 en 1.12 s boven de gestelde grenswaarde van 1.03. Maar in de linker figuur is de zwarte curve in orde voor de eerste 25 dB afval om daarna boven de normcurve uit te komen. Zou een sporter dit horen in de praktijk?

Pijnlijker is het rechter geval: dit is nl. een voortreffelijke zaal. De waarde van G is 3 dB lager dan in het linker geval, maar de rode curve is in beide gevallen gelijk, zodat ook hier de nagalmtijd boven de normwaarde ligt.

Er is maar één conclusie:

          één simpele waarde van de nagalmtijd deugt niet als normstellende grootheid.

 

Overigens zou men kunnen veronderstellen dat de linker zaal in de praktijk de voorkeur verdient omdat er minder absorptiemateriaal nodig is en de zaal dus goedkoper is. Het verschil zit in de plafondabsorptie, de kopse kanten zijn gelijk. Echter, ook in de linker zaal is plafondabsorptie noodzakelijk; het is onmogelijk om het plafond onbehandeld te laten. Dat betekent dat in beide zalen een ophangsysteem voor absorberende platen moet worden aangebracht en dan kost het nauwelijks meer om sterk absorberende platen in het ophangsysteem te leggen in plaats van iets goedkopere platen die minder absorberen.   

Gelukkig is in beide getoonde zalen nog wel wat manipulatie mogelijk om de nagalmcurve wat rechter te trekken. Dat komt in het volgende hoofdstuk aan de orde. Maar er zullen altijd grensgevallen zijn die akoestisch in orde zijn maar waar een simpele RT-norm niet wordt gehaald.

 

4.    De invloed op de nagalmcurve door verstrooiing van de wanden

4.1    Manipulatie van G en RT, voor zover mogelijk

Stel dat een ruimte wordt ontworpen door een architect en dat akoestische maatregelen noodzakelijk zijn voor de functie van de ruimte. Dan moet dus een schatting worden gemaakt van de hoeveelheid geluidabsorberend materiaal en van de verdeling van de materialen over de ruimte. Het meest gebruikte gereedschap daarvoor is de aloude SFJ-theorie, maar in de voorgaande hoofdstukken en webpagina’s is al gesteld dat die methode beperkt bruikbaar is. Het geluiddrukniveau, of G (strength) is vanuit de SFJ-theorie redelijk nauwkeurig te voorspellen, maar de SFJ-voorspelling van de nagalmtijd lijkt soms nergens naar omdat de SFJ-theorie geen rekening houdt met de verdeling van de absorptie over de ruimte.

In de SFJ-theorie zijn de twee grootheden, G en RT één op één van elkaar afhankelijk en hoeft er dus ook maar één te worden gemeten om de akoestische kwaliteit van een ruimte te bepalen. In de praktijk valt het één-op-één-gedrag nogal tegen. Dan wordt de nagalmtijd gebruikt om de akoestiek van een ruimte te karakteriseren, maar het probleem is: juist het geluiddrukniveau is in het overgrote deel van de ruimten belangrijker.

 

Het geluiddrukniveau, of G, is volgens de voorgaande hoofdstukken vooral te beïnvloeden met de hoeveelheid absorberend materiaal, de vorm van de ruimte speelt een veel kleinere rol. De nagalmcurve daarentegen is veel gevoeliger maar blijkt anderzijds wel degelijk te manipuleren met behulp van de verdeling van absorptiemateriaal over de wanden. Het voorgaande hoofdstuk 3 vertelt hoe dat werkt. Er blijkt echter nog een mogelijkheid om de nagalmcurve omlaag te brengen: verstrooiing.

 

4.2    De invloed van geluidverstrooiing door de wanden

Het spiegelbronnenmodel waarmee de voorgaande curven zijn uitgerekend werkt met ideale spiegeling: hoek van inval = hoek van reflectie. Met een ray-tracing-model kan daar verstrooiing van de wanden aan worden toegevoegd. Maar ray-tracing-modellen werken altijd met 3D ruimten en we verlaten dus de instructieve 2D-voorbeelden uit de voorgaande hoofdstukken.

In figuur 10 staan de nagalmcurven voor een ruimte van 32 ´ 8 ´ 2 m³. Dat is een beetje rare ruimte, maar het gaat om de onderlinge verhoudingen tussen lengte, breedte en hoogte. In de linker figuur hebben alle oppervlakken dezelfde absorptiecoëfficiënt van 20% (R = 0.8). In de rechter figuur is de absorptie verdeeld zoals men in de praktijk zou kunnen tegenkomen. Het figuuronderschrift geeft de waarden. Er is dus geen situatie doorgerekend waarin de absorptieverdeling is aangebracht zoals in de figuren 7, 8 en 9.

 

Figuur 10: Berekening van de nagalmcurven met behulp van Catt-Acoustic. De diffusiecoëfficiënten variëren volgens opgave in de figuur; ze zijn voor alle wanden gelijk [[5]].

Links is het homogene geval waarbij alle oppervlakken 20% absorptie hebben. In de rechter figuur heeft de vloer 5 % absorptie en het plafond 40%. Om aan een gemiddelde waarde van 20% absorptie te komen hebben de vier wanden daardoor 12% absorptie.
De nagalmtijden RT zijn berekend in het interval tussen -5 en -25 dB t.o.v. het maximum van de curve.
De berekeningen zijn gemaakt met een rondstralende puntbron waarvan het akoestisch vermogen gelijk is aan 70 dB (re 1pW), dat is ongeveer gelijk aan normale menselijke spraak.

 

De volgende conclusies kunnen uit de figuren worden getrokken:

• Allereerst is een waarschuwing nodig. De diffusiecoëfficiënten zijn gekozen volgens de conventies van het gebruikte programma Catt-Acoustic. In de handleiding van het programma wordt precies uitgelegd hoe dat werkt, maar er is verder geen idee hoe een oppervlak met een diffusiecoëfficiënt van 20% Catt-Acoustic er in de praktijk uitziet.

• In de blauwe curve van de linker figuur is de diffusiecoëfficiënt gelijk aan 0. Dan zijn de resultaten gelijk aan die uit het spiegelbronnenmodel. Het spiegelbronnenmodel geeft altijd de langste nagalmtijd.

• De waarde op t = 0 geeft het geluiddrukniveau. Het blijkt vrijwel ongevoelig voor verstrooiing [[6]]. Alweer: de hoeveelheid absorptiemateriaal is de belangrijkste mogelijkheid om het geluiddrukniveau te beïnvloeden.

• De helling over de eerste 5 dB blijft vrijwel constant. Over 10 dB verval nemen de verschillen wel toe, maar EDT is dus niet erg gevoelig voor wijzigingen in de situatie.

• Er wordt hier niet over de spraakverstaanbaarheid gesproken, dat komt aan de orde in latere webpagina’s. Maar ook die hangt vooral af van het eerste deel van de curve en blijkt dus ongevoelig voor verstrooiing.

• De curven in de rechter figuur liggen hoger dan in de linker. Dat betekent dus dat een inhomogene situatie met veel absorptie op het plafond nóg langere nagalmtijden oplevert. De nagalm blijft langer doorklinken tussen de verticale wanden van de ruimte die rechts minder absorberen dan links.

• Verstrooiing verlaagt de nagalmtijd:

• In de figuren staat ook de handberekening van de nagalmtijd, RT (sabine) volgt uit de SFJ-theorie. De overeenkomst met de curven is slecht, maar een vergelijking waarin de absorptie is verdeeld volgens de principes uit de voorgaande hoofdstukken ontbreekt.

• De curven hangen ook bij wat hogere diffusiecoëfficiënten nog flink door terwijl kan worden verwacht dat de curve min of meer wordt rechtgetrokken. Ligt dat aan Catt-Acoustic? Of wordt dat wel degelijk ook gevonden in echte metingen?

 

4.3    Liever EDT dan RT_5-35?

In concertzalen is tamelijk veel onderzoek gedaan naar de beleving van nagalm door luisteraars; zie bijvoorbeeld [[7]]. Daarbij blijkt de beleving van nagalm vooral samen te hangen met EDT, de nagalmtijd berekend aan de helling tussen -1 en -11 dB, dus in het eerste deel van de curve.  In veel muziek is de dynamiek van de lopende muziek niet veel meer dan 10 dB en is dus pas bij het slotakkoord te horen hoe een zaal uitklinkt over 20 of 30 dB. Ook voor de spraakverstaanbaarheid geeft EDT een veel betere indruk dan de nagalmtijd tussen -5 en -25 of -35 dB.

Men zou dus de conclusie kunnen trekken dat EDT geschikter is dan de RT-waarden tussen -5 en -25/-35 dB. Helaas zijn er ook argumenten tegen EDT die zijn af te leiden uit de figuren 11 en 12. Daarvoor is een berekening uitgevoerd, in een ray-tracing programma, van EDT (figuur 11) en RT tussen -5 en -35 dB (figuur 12). De ruimte meet 16 ´ 8 ´ 4 m³ en gegeven wordt een horizontale doorsnede op 1 m hoogte. Op het punt (2.5, 2.5) staat een geluidbron. De contouren worden berekend nadat een net van 153 mikrofoonpunten is uitgerold.

Figuur 12 illustreert waarom de nagalmtijd in de laatste 100 jaar zo populair is geworden: de waarde is constant door de ruimte. EDT daarentegen loopt sterk af nabij de bron, hetgeen o.a. veroorzaakt wordt doordat het directe geluid de helling van het eerste stuk van de nagalmcurve beïnvloedt.

Figuur 11:  De waarden van EDT berekend in een ruimte van 16 ´ 8 ´ 4 m³.

Figuur 12: De waarden van RT tussen -5 en -35 dB, berekend in een ruimte van 16 ´ 8 ´ 4 m³.

 

Men zou natuurlijk kunnen vermijden om EDT al te dicht bij de bron te bepalen, maar er is nog een bezwaar tegen EDT: ook de meetuitkomsten variëren sterk. Waar het precies vandaan komt is niet altijd even duidelijk maar de gemeten pulsresponsies zien er in de allereerste milliseconden nogal grillig uit en ze hangen sterk af van de plaats. Kennelijk spelen allerlei lokale reflecties (de vloer, meubilair, toevallige plafond- en muuronderdelen) en staande golven een grote rol voor het eerste deel. Een verschuiving van een paar centimeter kan al invloed hebben. Nader onderzoek kan hier wellicht uitkomst brengen [[8]]. Maar de argumenten tegen EDT betekenen nu ook weer niet dat de berekening en/of meting van RT tussen -5 en -25/-35 dB wel een goede indruk geeft van de akoestische eigenschappen van een ruimte.

 

4.4    Verstrooiing door bouwkundige constructies

In de voorgaande paragrafen werd gerekend met verstrooiende elementen. Die komen meestal als losse elementen uit de fabriek met afmetingen in de orde van 1 m², waarna ze worden samengevoegd tot (delen van) wanden. Zie bijvoorbeeld webpagina "B.7 Geluidverstrooiing", maar ook in D.70-A, D.70-B en D.73 zijn voorbeelden te zien.

Het kan ook grootschaliger. In webpagina D.10.1 is o.a. een voorbeeld doorgerekend waarin de kopse wanden van een sportzaal scheef worden gezet. Het draaien van één of beide kopse wanden (verticaal of horizontaal) kan de langdurige nagalm in de lengterichting voorkomen. Scheefstaande glazen puien helpen ook en zijn daadwerkelijk toegepast. Sportzalen hebben ook vaak tribunes; ook die kunnen meervoudige reflecties tegengaan.

Het spreekt voor zich dat we voor dit soort toepassingen een ray-tracing-programma te hulp moeten roepen. Er zijn dus wel ideeën over scheefstand of over zig-zag-wanden, maar "hoe scheef dan?".  En we moeten steeds in het achterhoofd houden dat dergelijke ingrepen wel de nagalmtijd flink kunnen beïnvloeden, maar dat het geluiddrukniveau nauwelijks wordt aangepakt als de totale hoeveelheid absorptie gelijk blijft.

 

4.5    Verstrooiing door meubilair

Verstrooiing kan worden bereikt met de oppervlakken, maar ook meubilair zorgt voor verstrooiing. In de praktijk van veel ruimten (woonkamers, klaslokalen, restaurants, enz.) is dat effect belangrijker dan verstrooiing door de wanden. Echter, soms staat meubilair in de weg, juist in een sportzaal of een zwembad. Daardoor is een sportzaal het zorgenkind van het akoestisch ontwerp en wordt het in deze website vaak opgevoerd als worst-case-scenario.

 

In de literatuur is zeer weinig te vinden over de invloed van meubilair. Er zijn redelijk wat before-and-after-studies te vinden waarbij de invloed van toegevoegde absorptie wordt gemeten, maar dat is net niet wat we zoeken.

Konca Şaher behandelt in paragraaf 5.3.1 van haar proefschrift [[9]] twee situaties mét en zonder meubilair: een kantoorruimte met 28 m² vloeroppervlak en een woonruimte met 39 m².  De kantoorruimte bevat uitsluitend meubilair dat op het oog "niet-absorberend" lijkt zoals houten tafels, metalen kasten. In de woonruimte is het meubilair gedeeltelijk absorberend. Als de effecten uit de figuren 10 een rol spelen, zouden we een afname zien van de nagalmtijd. Dat klopt; er wordt een grote afname met ongeveer een factor 1.7 gevonden. Ook G blijkt te veranderen. In de woonruimte is het effect nog sterker. Er is uiteraard altijd een spreiding van de G-waarden door de ruimte, maar juist die spreiding over 10 mikrofoonpunten blijkt toe te nemen.

Eigenlijk tasten we in het duister en is extra onderzoek noodzakelijk:

• Treedt er toch absorptie op aan het "kale" kantoormeubilair? Tafels en stoelen zitten vol met hoekjes en gaatjes waarin de luchttrillingen wrijving ondervinden, absorptie dus.

• Toevoeging van absorptie zorgt inderdaad voor een grotere spreiding van de G-waarden. Dat volgt uit de theorie van Barron. Zie webpagina B.10.5, figuur 4.

• In figuur 10 is gerekend met oppervlakken die verstrooien en tegelijkertijd niet absorberen, waardoor G gelijk blijft. Misschien bestaan dergelijke oppervlakken helemaal niet en betekent verstrooiing per definitie ook enige absorptie.

 

Alle effecten zouden onderzocht kunnen worden door bijvoorbeeld het meubilair in de nagalmkamer te meten, maar dergelijke metingen zijn ons onbekend. We zien hier sowieso een blinde vlek op de akoestische kaart.

 

5.    Samenvatting en Conclusies

In de theorie van Sabine, Franklin en Jaeger (SFJ-theorie) worden het geluiddrukniveau en de nagalmtijd voorspeld voor een ruimte met een gegeven bouwkundig volume en het totale absorberende oppervlak. Met behulp van het geluiddrukniveau en de nagalmtijd kan een nagalmcurve worden getekend die bestaat uit een rechte lijn met het maximum gelijk aan het geluiddrukniveau of strength G₀, op t = 0 en de nagalmtijd RT die de helling bepaalt waarmee de curve daalt als functie van de tijd.

In de praktijk is dit model te simpel. Voor een kubusvormige ruimte klopt het mooi, maar zodra van de kubusvorm wordt afgeweken kan de nagalmtijd behoorlijk stijgen; het geluiddrukniveau heeft minder last van variaties en dus kan het geluidniveau nog redelijk nauwkeurig door de SFJ-theorie worden voorspeld, onder voorwaarde dat de SFJ-waarden worden gecorrigeerd voor langgerekte ruimten. De werkwijze staat in webpagina B.13.2, de paragrafen 3.2 en 3.3.

 

In veel ruimten is het geluiddrukniveau de belangrijkste parameter. Gebruikers van fabriekshallen, kantoren, restaurants, sportaccommodaties, enz, enz, zijn meer geïnteresseerd in een aanvaardbaar geluiddrukniveau dan in een korte nagalm. Voor spraak geldt een combinatie van niveau en nagalm, maar zelfs daar is het niveau vaak belangrijker, met name als zich in de ruimte meerdere sprekers bevinden.

Probleem is echter dat de bepaling van de nagalmtijd in de praktijk ook wordt gebruikt om impliciet het geluiddrukniveau te voorspellen. Bij een lange nagalmtijd wordt dus automatisch verondersteld dat het geluiddrukniveau te hoog is, hetgeen soms niet het geval is. De nagalmtijd onderschat dan de akoestische kwaliteit.

 

Het is uiteraard makkelijk om de nagalmtijd de schuld te geven van de problemen. Maar de nagalmtijd wordt vaak gebruikt om de akoestische kwaliteit van een ruimte na te meten. Als de nagalmtijd voldoet aan gestelde normen kan de champagne worden ontkurkt. Als de nagalmtijd echter te lang is zouden we kunnen terugvallen op de nagalmcurven waarin ook G wordt gemeten, waarna meestal wel duidelijk is wat er eventueel moet worden verbeterd.

Maar het is ook mogelijk dat de absorptiegetallen die zijn gegeven door de leverancier niet deugen of dat de aannemer afwijkt van het bestek. Al vele jaren bestaat er een methode om materialen in situ door te meten. Maar tot nu toe komt dat niet erg van de grond: te duur? te ingewikkeld? Het zou een zeer welkome toevoeging zijn aan de akoestische gereedschapskist.

 

Gelukkig kan verstrooiing helpen om de nagalmtijd te verlagen; daarvan is in de huidige webpagina een rekenvoorbeeld gegeven. Meer informatie over dit onderwerp staat in de volgende webpagina die wat meer op de praktijk is gericht: "B.14 Absorptie, Hoeveel? Waar?".

 

Deze webpagina is als pdf te downloaden, klik hier

 

 

---