Pulsresponsie en histogram
Figuur 1 geeft een voorbeeld van een responsie van een kubusvormige ruimte op een energiepuls. Het effect is berekend; er wordt gesuggereerd dat de pulsen afzonderlijk zichtbaar zijn. Aan het eind van dit hoofdstuk zal een voorbeeld worden gegeven van een meting. Dan zal ook blijken dat de berekende pulsresponsie helemaal niet kan worden gevonden.
Figuur 1: De berekende pulsresponsie op een energiepuls voor een kubusvormige ruimte van 10 × 10 × 10 m3.
De rode puls geeft het directe signaal; alle blauwe pulsen hebben minimaal één keer gereflecteerd. De energiepuls wordt uitgezonden door een geluidbron en geregistreerd door een mikrofoon die op 4 m afstand van de bron is gedacht. De eerste puls heeft dus 0.012 s (dus 12 ms) nodig om de mikrofoon te bereiken. Alle reflectiecoëfficiënten zijn 0.8.
De verticale as is logaritmisch gekozen omdat het menselijk oor ook logaritmisch werkt. De waarde van E0 is daarbij gekozen als 10-5 J. Eigenlijk is dat hier nog niet van belang; het gaat slecht om de onderlinge verhouding tussen de pulsen.
Twee eigenschappen vallen op aan de pulsresponsie:
De amplitude van de latere pulsen wordt steeds kleiner. Dat komt:
enerzijds omdat het geluid een langere weg heeft afgelegd,
anderzijds omdat het aantal reflecties toeneemt en bij iedere reflectie gaat wat energie verloren.
Het aantal pulsen per tijdseenheid (de dichtheid) neemt toe met de tijd.
De verticale as kan worden afgeleid uit de formules uit de voorgaande webpagina's.
|
|
(1) |
,hetgeen kan worden genormeerd met de referentiedruk tot:
|
|
(2) |
,waarin:
t |
= |
tijd [s] |
p |
= |
geluiddruk [Pa] |
pref |
= |
referentie geluiddruk, gelijk aan 2.10-5 Pa |
r |
= |
afgelegde weg van een puls [m] |
ρ |
= |
soortelijke massa van lucht [kg/m3] |
c |
= |
geluidsnelheid [m/s] |
E0 |
= |
energie van de uitgezonden energiestoot [J] |
In figuur 1 is dan uitgezet:
|
|
(3) |
,Als de energie wordt uitgezonden op t = t0 geldt bovendien:
|
|
(4) |
,In figuur 2 wordt een pulsresponsie gegeven van een "niet-kubische" ruimte en voor een dubbele tijdsperiode (0.8 in plaats van 0.4 s). In deze figuur is een repeterende echo te zien. Als we een schatting maken van de tijdsafstand (dus ca. 65 ms) kan een afstand worden teruggerekend van 20 m, overeenkomend met de afstand tussen de kopse wanden.
Figuur 2: De berekende pulsresponsie voor een ruimte van 20 × 8 × 5 m3. Alle reflectiecoëfficiënten zijn 0.8. Ditmaal is het directe geluid niet afzonderlijk gekleurd.
Door de toenemende dichtheid van de energiepulsen is de figuur van de pulsresponsie niet geschikt om de energie goed af te lezen. Daartoe worden de pulsen telkens samengeveegd in een interval met constante breedte. Daarbij worden uiteraard niet de dB’s uit figuur 2 opgeteld maar de onderliggende waarden vóór logaritmisering. Figuur 3 toont de energie zoals die uit figuur 2 is berekend [[1]]. Doordat het aantal pulsen toeneemt, is de afname van de geluidenergie in figuur 3 minder steil dan in figuur 2.
Figuur 3: De energie indien de pulsen uit figuur 2 telkens worden samengeveegd in een interval met vaste breedte van 20 ms.
Zowel voor figuur 2 als voor figuur 3 wordt de term "echogram" gebruikt hoewel ze dus wezenlijk verschillend zijn. In sommige ray-tracing programma’s wordt voor figuur 3 gesproken van een "histogram". Dat is eigenlijk de meest correcte term en we zullen ons daaraan conformeren.
De schroedercurve
Rond 1900 deed Wallace Sabine systematische proeven aan nagalm met behulp van orgelpijpen. De pijp produceert een constant niveau; de eigenlijke nagalmmeting wordt verricht als dat geluid wordt uitgeschakeld [[2]]. De navolgers van Sabine (dat zijn dus alle zaalakoestici van na 1900) gebruiken meestal geen orgelpijpen, maar een luidspreker die continue ruis produceert.
Echter, een ruissignaal is minder continu dan men denkt: er treden wel degelijk fluctuaties op en de nagalmcurven verschillen zichtbaar indien het proces bijvoorbeeld vier keer wordt herhaald. Dat bracht Manfred Schroeder ertoe om het gemeten signaal "achterwaarts" te integreren van oneindig naar de tijd t, waardoor vooral een veel nettere curve ontstaat [[3]]. Er ontstaat dan een tijdafhankelijke grootheid S:
|
|
(5) |
,Door de integratie doet het er niet toe of de curve van figuur 2 of 3 wordt gebruikt; ze geven hetzelfde resultaat. Als we figuur 3 als voorbeeld nemen is de schroedercurve niets anders dan het optellen van de energiepulsen, te beginnen aan het eind. Figuur 4 geeft een voorbeeld.
Figuur 4: De schroedercurve (in rood) zoals berekend uit figuur 3. De laatste puls is het startpunt, dan worden daar achterwaarts steeds pulsen bij opgeteld, uiteraard voordat de schaal wordt gelogaritmiseerd.
Zoals te zien is verdwijnen de pulsen en schommelingen. De informatie uit figuur 3 is echter nog steeds aanwezig. Het laatste stuk van een schroedercurve (na ca. 0.7 s) is niet te vertrouwen. Om dat alsnog goed te krijgen is een langere meet- of rekentijd noodzakelijk [[4]].
Rekenen en meten
In feite staan in figuur 4 nu zowel de responsie op een pulsvormig signaal (in blauw) als de responsie op het uitschakelen van een continue bron in rood. Rekenmodellen die zalen kunnen doorrekenen leveren bij hun output dan ook figuren die sterk lijken op de figuren 2 en 4.
Bij metingen wordt een iets andere weg gevolgd, er is nl. één essentieel verschil met rekenmodellen. In een rekenmodel wordt de aankomsttijd van iedere geluidstraal vastgelegd. Naarmate men verder in de tijd vordert komen er steeds meer stralen min of meer tegelijk binnen. Dat is te zien aan de oplopende dichtheid in figuur 1 na 0.1 s. Bij digitale metingen wordt daarentegen bemonsterd met een vaste frekwentie de zgn. "sample rate". Die is bij veel metingen (waaronder de onze) gelijk aan 48.0 kHz, maar 44.1 kHz (voor CD’s), 96 kHz en 192 kHz komen ook voor. Dat betekent dat door de meetapparatuur om de 20.8 µs (microseconde) een waarde wordt bepaald ("gesampled"). Figuur 5-links toont een pulsresponsie die in een kerk is gemeten [[5]]. De fijnstruktuur per 20.8 µs is in deze figuur niet te zien, maar als sterk wordt ingezoomd lukt het wel degelijk, zie figuur 5-rechts.
 |
 |
Figuur 5: Een pulsresponsie van de geluiddruk zoals gemeten in een kerk met een nagalmtijd van ongeveer 7 s. De linker horizontale as gaat in s, de rechter in ms; er is dus ingezoomd op het deel tussen 0.028 en 0.040 s
De verticale as geeft de geluiddruk. De waarden zeggen weinig, want als de gebruikte geluidbron harder wordt gedraaid, verandert ook de schaal.
Figuur 5 toont de responsie van de geluiddruk op een drukpuls [[6]], waarbij positieve en negatieve waarden voorkomen. Dat signaal kan worden gekwadrateerd, net zoals in rekenmodellen; daarmee verdwijnen automatisch de negatieve waarden. In figuur 6 is dat gedaan [[7]]. Om de leesbaarheid van de figuur te vergroten wordt verticaal een logaritmische schaal gebruikt, waardoor een geluiddrukniveau ontstaat.
Links in figuur 6 is het beeld getekend in de vorm van één puls per 20.8 µs. Dat beeld is nogal rommelig en daarom is het gebruikelijker om alleen de piekwaarden te tekenen waardoor het beeld van figuur 6-rechts ontstaat.
 |
 |
Figuur 6: Kwadratering van de geluiddruk uit figuur 5. Links worden pulsen getekend, rechts alleen de piekwaarden van iedere puls. Maar er staat eigenlijk tweemaal hetzelfde.
De verticale schaal is gerelateerd aan de schaal van figuur 5 (0.2 Pa komt overeen met 80 dB) en varieert op dezelfde manier als functie van de bronsterkte.
In figuur 3 was de energie uit het rekenmodel samengeveegd in vaste intervallen. Dat is ook bij metingen een gebruikelijke methode. Echter, bij berekeningen is deze handeling noodzakelijk, bij metingen wordt het vooral gedaan om de leesbaarheid te verbeteren. Het resultaat staat in figuur 7. De breedte van de intervallen is in dit geval 20 ms. Uit de pulsen wordt dan via een integratie weer een schroedercurve afgeleid die ook is getekend in figuur 7 (de groene lijn).
Figuur 7: Een serie pulsen (in blauw) indien van figuur 6 de energie wordt berekend in vaste intervallen van 20 ms. De rode lijn is getrokken over de toppen van de blauwe pulsen. De groene schroedercurve ontstaat door achterwaartse integratie van de rode waarden.
In figuur 7 is een interval gebruikt van 20 ms. Dat is gedaan om de blauwe pulsen in de tekening afzonderlijk te laten zien. De rode curve is gelijk aan de curve van figuur 6-rechts maar er is detail verloren gegaan. Om de figuur te kunnen "lezen" heeft figuur 6-rechts wat te veel detail en de rode lijn uit figuur 7 wat te weinig. Een waarde van 20 ms is in de praktijk ook ongebruikelijk lang, waarden van 2, 5 en 10 ms zijn gebruikelijker, maar het interval is vaak heel simpel te kiezen en er is ook nog in te zoomen. In de praktijk wordt soms een "RC-filter" gebruikt om het detail van figuur 5 wat te doen afnemen. Dat is een methode uit het analoge tijdperk. Bij zeer nauwkeurige beschouwing is wel verschil te zien, maar voor de praktijk is ook een RC-filter meestal goed genoeg.
Wanneer welke curve?
De allereerste curven van Sabine leken vooral op de schroedercurve van figuur 7, maar er was één principieel verschil: de schroedercurve is door de integratie per definitie monotoon dalend terwijl oudere curven veel meer slingerden en veel minder mooi reproduceerden. Daarom juist heeft Schroeder zijn curve uitgedacht. De curve uit figuur 7 is ook ideaal om er een nagalmtijd uit te bepalen, waarop we in het volgende deel dieper zullen ingaan [[8]].
De schroedercurve is echter niet geschikt voor "echo-hunting". Figuren 5, 6 en 7 tonen een knalharde echo rond 0.20 s. Die komt in dit geval van de achterwand van de kerk [[9]]. De echo is met wat moeite ook uit de schroedercurve van figuur 7 te halen, maar de rode curve is natuurlijk veel handiger. Echo-hunting is met name van belang in zalen voor muziek en in dat geval zal figuur 6 een belangrijke taak verrichten.
[1] In de praktijk wordt de overgang van figuur 2 naar figuur 3 heel vaak gedaan met een RC-filter. In onze berekening is in feite een rechthoekig tijdfilter gebruikt. Het maakt allemaal weinig uit, temeer daar de filters vaak veel smaller zijn dan hier getekend. Het interval is opzettelijk wat breed gekozen voor de tekening. In de meetpraktijk wordt het interval 5 tot 20 maal zo smal gekozen.
[2] We komen op Sabine terug in een volgend theoriedeel.
[3] Schoeder, M.R, "A new method of measuring the reverberation time", J. Acoust. Soc. Am, 37, p. 409, 1965.
[4] Echter, de schroedercurve heeft wel degelijk een lagere signaal-ruis-verhouding dan het onderliggende histogram.
[5] Hoe die pulsresponsie precies tot stand komt blijft hier onbesproken. De curve van figuur 5 is gemaakt met behulp van een "logaritmische sweep".
[6] Of liever: het elektrische signaal dat een mikrofoon maakt van de geluiddruk ter plekke.
[7] Daarbij wordt wel degelijk informatie vernietigd. In de curve van figuur 5 zitten nog de onderlinge faserelaties; die zijn na kwadratering verdwenen. Echter, in de praktische zaalakoestiek kan met de faserelaties eigenlijk niets worden gedaan; het is domweg te veel informatie. Als de faserelaties nodig zijn, is een meer toegespitste meetmethode nodig.
[8] Van de normbladen moet de schroedercurve worden gebruikt. Theoretisch biedt figuur 6 dezelfde mogelijkheden maar daarbij kunnen wel degelijk fouten worden gemaakt. Zie daartoe het volgende deel.
[9] 200 ms komt overeen met 68 m en aangezien deze kerk 35 m lang was, lag de achterwand voor de hand. Het kan soms tamelijk lastig zijn om uit figuur 5 of 6 af te leiden welk vlak nu precies reflecteert. Soms is het op het oor wel te horen.
