B.3.5
Enige berekeningen aan akoestische resonantie-absorbers (gaatjesplaten)

1.    Inleiding

In de voorgaande webpagina B.3.4 zijn de eigenfrekwenties van enkele constructies behandeld, namelijk de helmholtzresonator (al of niet in de vorm van een gaatjesplaat) en de vlakke-plaatresonator. In de huidige webpagina B.3.5 zal van een aantal voorbeelden de absorptie worden doorgerekend met behulp van computermodellen die aan de orde zijn geweest in de webpagina’s B.3.2 tot B.3.4.

Al eerder is een "lagenmodel" behandeld waarbij een constructie laag voor laag wordt doorgerekend. Een voorbeeld is een gaatjesplaat, gevolgd door een laag absorptiemateriaal, dan een laag lucht en een betonnen wand als afsluiting. Het model bleek betrouwbaar bij loodrechte inval. Ook bij scheve inval is het model te gebruiken, maar de synthese van meerdere invalshoeken tot alzijdige inval is een heikel punt en juist dat is nodig om een voorspelling te maken van het gedrag in een nagalmkamer en in de praktijk. Het goede nieuws is dat de gemeten absorptie bij lage frekwenties altijd beter is dan voorspeld met het lagenmodel.

Eigenlijk bestaan er geen modellen om het gedrag in de nagalmkamer te voorspellen, al is het uiteraard altijd mogelijk om meetuitkomsten uit de nagalmkamer in werkbare formules te gieten. Een voorbeeld van zo’n programma is "Zorba" [[1]], dat veelvuldig is geraadpleegd bij ons onderzoek. De uitkomsten bij loodrechte inval uit ons eigen model en Zorba liggen steeds vrijwel naadloos over elkaar. Zorba levert geen curven voor specifieke invalshoeken maar wel voor alzijdige inval waar het lagenmodel faalt.

Het doel van de huidige webpagina B.3.5 is om trends duidelijk te maken door verschillende constructies te vergelijken. Dus bijvoorbeeld: helpt het om absorberend materiaal toe te voegen achter een gaatjesplaat? Zijn gedeeltelijk gevulde spouwen toegestaan? En zoja, waar moet de absorptie dan worden gesitueerd?

In de eerste voorbeelden wordt gebruik gemaakt van het lagenmodel, in het volgende deel concentreren we ons op alzijdige inval en vindt de berekening plaats met Zorba.

 

2.    Grootheden gebruikt in deze webpagina

2.1    De geometrie van de gaatjesplaat

 

Figuur 1:  Een doorsnede (figuur links) en een bovenaanzicht (rechts) van een gaatjesplaat met een vierkant patroon, zowel van de gaatjes als van de onderlinge plaatsing. De notatie van de variabelen is wat anders dan in de voorgaande webpagina B.3.4 waar de resonantiefrekwentie van de helmholtzresonator werd afgeleid.

 

Figuur 1 geeft de geometrie van de gaatjesplaat waaraan we zullen rekenen. Uit gemakzucht gaan we uit van een vierkant patroon met vierkante gaatjes, maar in de praktijk komen ronde gaatjes vaker voor. Dat maakt verder niets uit, maar bij ons vierkante patroon is de "openingsgraad" of "perforatiegraad" O_p iets makkelijker te berekenen.

Voor de openinsgraad geldt met de notatie uit figuur 1:

.

(1)

De openingsgraad kan ook worden gebruikt bij systemen met lange latten met spleten tussen de latten. Dan vervallen de kwadraten in formule (1). Maar een kleine openingsgraad is bij een lattenstructuur moelijker te bereiken. Om O_p = 1% te bereiken bij L = 10 cm moet D bij een gaatjesplaat gelijk zijn aan 10 mm, maar D wordt 1 mm bij een lattenstructuur.

 

In de voorgaande webpagina B.3.4 is de resonantiefrekwentie f_res van de helmholtzresonator afgeleid. Die schrijven we hier voor de gaatjesplaat (in een gewijzigde notatie t.o.v. B.3.4) als:

(2)

Hierin staat c voor de geluidsnelheid (verondersteld als 342 m/s bij kamertemperatuur) en zijn de overige variabelen gegeven in figuur 1. In de volgende hoofdstukken zal aan de hand van grafieken worden uitgelegd hoe de drie grootheden onder de wortel kunnen worden gemanipuleerd. Daarbij moeten de volgende aantekeningen worden gemaakt omdat bij nameting van formule (2) altijd lagere waarden worden gevonden voor f_res:

• Allereerst is de geluidsnelheid wat lager dan 342 m/s. Eerder (in de voorgaande webpagina B.3.4) is het verschil uitgelegd tussen de adiabatische geluidsnelheid (gelijk aan 342 m/s) en de isotherme snelheid (289 m/s) die wordt gevonden indien warmte-uitwisseling van de luchtmoleculen met de omgeving mogelijk is. Dat blijkt in een absorptiemateriaal in hoge mate het geval.

• De formule gaat uit van een starre luchtprop in de keel. De afmetingen van de luchtprop worden gegeven door de gatdoorsnede en de plaatdikte, maar de prop blijkt in de praktijk altijd wat langer.

• De prop is niet star, er is interne vervorming mogelijk die sterker is naarmate het gat breder wordt.

In een rekenmodel kunnen vrij eenvoudig correctietermen worden geprogrammeerd, meestal in de vorm van aangepaste waarden van D en d_pl [[2]]. In het lagenmodel zijn die aanpassingen niet doorgevoerd; in het computermodel Zorba zitten de correcties wel ingebakken.

 

2.2    Absorptiemateriaal in de spouw

We zullen nog zien dat een gaatjesplaat over het algemeen beter gaat absorberen als er in de spouw absorptiemateriaal wordt aangebracht, zoals glaswol, minerale wol, echte wol en polyester wol. Die materialen worden in het lagenmodel en in Zorba gekarakteriseerd door de "stromingsweerstand". Aan de stromingsweerstand en de onderliggende bulk-modulus is uitgebreid aandacht besteed in webpagina B.3.1, hoofdstuk 3. Voor de leesbaarheid worden een paar kernbegrippen herhaald.

 

De stromingsweerstand wordt gemeten door een laag absorptiemateriaal lekvrij in een buis te monteren. Vervolgens wordt een compressor aangesloten (een stofzuigermotor volstaat) waardoor lucht door het materiaal wordt geblazen. Gemeten worden het drukverschil tussen de voor- en achterzijde van het monster plus de luchtsnelheid in de buis. Het quotiënt van die twee is bepalend voor de stromingsweerstand.

De eigenlijke stromingsweerstand is een materiaaleigenschap, en genoemd quotiënt is dat niet, want als het monster tweemaal zo dik wordt, zal het drukverschil (bij gelijkblijvende snelheid) ook twee maal zo groot worden. Om er een materiaaleigenschap van te maken wordt de dikte van het monster eruit gedeeld en de eenheid van de stromingsweerstand is daarom Pa.s/m², of "rayl/m". In de akoestische praktijk wordt de grootheid Pa niet altijd gebruikt en daarom komt men in dit vak heel vaak de aanduiding Ns/m⁴ tegen, hetgeen uiteraard hetzelfde is. De gebruikelijke waarden van de stromingsweerstand variëren in de praktijk tussen 10³ tot 10⁶ rayl/m, met modale waarden van 10⁴ tot 10⁵ rayl/m. De grafieken in webpagina B.3.3 en de huidige B.3.5 laten zien waarom die waarden worden gekozen.

 

2.3    Materiaaleigenschappen naast de stromingsweerstand

In het vervolg van deze pagina zal veelvuldig gebruik worden gemaakt van het commerciële programma Zorba. Daarmee kunnen de absorberende constructies uit de voorgaande paragraaf worden doorgerekend. Maar er zijn ook materialen die door Zorba expliciet worden buitengesloten, zoals geschuimde materialen ("foams") en absorberende wegdekken. De reden van die uitsluiting is als volgt.

Naast de stromingsweerstand zijn meerdere materiaaleigenschappen van belang. Er is bijvoorbeeld de invloed van de "porositeit" die de openingsgraad van een materiaal bepaalt. Bij de materialen uit de voorgaande paragraaf nadert die waarde tot 100%, maar bij een wegdek met zeer open asfaltbeton geldt dat niet en ook de werking van speciale akoestische schuimen is gebaseerd op een relatief groot percentage dichte cellen. Bij foams trilt ook het materiaalskelet vrij sterk mee. De onderliggende snelheidsverschillen tussen de luchtdeeltjes en het skelet worden kleiner en de wrijving, die juist zorgt voor geluidabsorptie, verandert.

Zorba behandelt dus alleen de materialen waarvan de stromingsweerstand voor het overgrote deel de geluidabsorptie bepaalt. Echter, ook in de gevallen waarin andere eigenschappen meetellen, blijft de stromingsweerstand de belangrijkste grootheid, zodat ook voor de uitgesloten materialen wel degelijk een eerste schatting kan worden gevonden.

 

3.    De gaatjesplaat volgens het lagenmodel

3.1    De impedantie van een gaatjesplaat

In de theorie van webpagina B.3.1 is de "impedantie" Z behandeld als maatgevende grootheid voor een bepaalde absorberende constructie. Er gold en geldt dat Z gelijk is aan het quotiënt van de geluiddruk p en de deeltjessnelheid v [[3]]. Overal in een ruimte kan Z worden berekend en die kan daarbij sterk afhangen van de plaats in de ruimte. Het gaat ons echter specifiek om de impedantie Z_r op het scheidingsvlak van enerzijds een half-oneindige laag lucht met een geluidbron en een mikrofoon, en anderzijds de absorberende constructie. Dat is getekend in figuur 2 waar Z_r op het eerste scheidingsvlak maatgevend is. Z_r hangt af van de afzonderlijke karakteristieke impedanties van de andere drie lagen (gaatjesplaat, spouwmateriaal en harde achterwand) en het lagenmodel is ontwikkeld om dat werk door de computer te laten uitvoeren. Eventueel zijn nog veel meer lagen mogelijk.

Figuur 2:  Een absorberende constructie wordt gekarakteriseerd door de impedantie Z_r. Met behulp van die impedantie kan worden berekend hoeveel geluidvermogen wordt gereflecteerd ten opzichte van het vermogen van een invallende golf.

 

Als die impedantie bekend is kan worden berekend hoeveel geluid wordt gereflecteerd door de totale constructie. Voor de drukreflectiecoëfficiënt R_p was in webpagina B.3.1 afgeleid:

,

(3)

waarin W₁ staat voor de karakteristieke impedantie van lucht.

 

Uit formule (3) werd in webpagina B.3.1 de absorptiecoëfficiënt α afgeleid als:

.

(4)

De grootheid R_p is complex (in wiskundige zin); α is een reëel getal.

Uit de formule volgt dat α niet groter dan 1 kan worden. Indien wordt gemeten bij loodrechte inval klopt dat ook altijd. Echter, bij metingen in de nagalmkamer wordt een "alzijdige" waarde gevonden en daarbij komen waarden boven 1 wel degelijk voor. In webpagina B.6.3 wordt uitgelegd hoe dat komt.

 

De ontwerper van de ideale absorberende constructie zal (in figuur 2 en formule 3) streven naar een impedantie Z_r = W₁; dan is de reflectie gelijk aan nul en de absorptie dus maximaal. Maar bij een resonerend systeem gelden de volgende overwegingen:

• Het wezenskenmerk van een helmholtzresonator bij de resonantiefrekwentie, is dat in de keel een tegendruk wordt opgewekt die gelijk is aan de geluiddruk van de invallende golf. Maar als de totale druk p = 0, is daarmee de impedantie gelijk aan nul en treedt er volgens formules (3) en (4) geen absorptie op.
  Nu is er altijd wel een beetje wrijving in een helmholtzresonator maar een echt goede absorber in een ruimte wordt het nooit.

• In figuur 2 zien we op het scheidingsvlak twee delen: de plaat en de gaten. Bij de plaat geldt dat de geluiddruk zeer groot is en de deeltjessnelheid vrijwel nul; de impedantie nadert daar tot oneindig. In de keel geldt juist een zeer kleine impedantie.
  Het blijkt nu mogelijk om een tussenwaarde tussen die twee impedanties te berekenen [[4]]. Dat mag omdat de golflengte van het geluid bij de resonantiefrekwentie altijd groter is dan de gatafstanden; het effect wordt bevestigd door metingen. De gebruikte formule is:

  ,

  (5)

  waarbij de eerste term achter het gelijkteken verdwijnt omdat Z_plaat naar oneindig nadert. De hele kleine waarde van Z_gat wordt nu aanzienlijk vergroot in Z_totaal omdat wordt gedeeld door O_p. In feite treedt een proces op waarbij de deeltjessnelheid van de invallende golf wordt verdeeld over de dichte delen en de gaatjes, waardoor de snelheid inde gaatjes zeer groot kan worden.

• Het effect redt óók ons lagenmodel. In de voorgaande webpagina’s is steeds beweerd dat het model alleen geschikt is voor lagen die homogeen zijn loodrecht op de richting van de golfvoortplanting. Een gaatjesplaat voldoet niet aan die voorwaarden, maar als er mag worden gemiddeld, is er dus ook een soort oneindige laag gecreëerd.

• De middeling leidt ertoe dat de karakteristieke impedantie van een gaatjesplaat wordt geschreven als:

  ,

  (5)

  Er ontstaat dus een simpele vlakke-plaatconstructie. De soortelijke massa (in akoestische zin, niet constructief) van zo'n plaat is overigens gering. Bij een openingsgraad van 2% is die bijvoorbeeld gelijk aan 60 kg/m³, hetgeen uiteraard veel geringer is dan de soortelijke massa van een gipsplaat of een houten plaat. 

 

3.2    De invloed van de openingsgraad

In figuur 3 wordt het resultaat getoond van een gaatjesplaat met verschillende openingsgraden zoals berekend met het lagenmodel bij loodrechte inval.

Figuur 3:  De absorptiecoëfficiënt berekend met het lagenmodel bij loodrechte inval. De plaatdikte d_pl = 15 mm, de spouwdiepte d_spw = 40 mm. Er is "met de hand" enige dissipatie van de energie toegevoegd, want een puur verliesvrije helmholtzresonator vertoont geen absorptie en introductie van de werkelijke luchtwrijving levert absorptiepiekjes die slechts met het vergrootglas te zien zijn. Bij de keuze voor "enige wrijving" wordt ervan uitgegaan dat die hoger wordt als de snelheid in de gaatjes toeneemt en dat hoort dus bij een kleinere openingsgraad.

 

Hoe hoger de openingsgraad, des te slechter de constructie absorbeert. Dat is ook logisch: de impedantie nadert steeds dichter tot de impedantie van de keel van een helmholtzresonator, en aangezien die vrijwel gelijk is nul, absorbeert de constructie dus nauwelijks. Anderzijds is het wel degelijk mogelijk om de absorptiecoëfficiënt verder op te voeren bij een nóg lagere openingsgraad [[5]]. Die resultaten zijn hier echter niet getoond omdat de verschillen tussen het model en metingen wellicht al te groot worden. Het zou goed kunnen gaan, maar de deeltjessnelheid in de keel wordt dusdanig groot dat metingen noodzakelijk zijn ter verifiëring van het effect. De deeltjessnelheid stijgt namelijk met 1/O_p en daar mag men toch minstens een grens aan verwachten.

 

De pieken in de grafiek komen overeen met de uitkomsten van formule (2). Als we die toepassen met d_pl = 15 mm en d_spw = 40 mm, staat er dus f_res = 2221 √O_p. Dat blijkt mooi te kloppen met de pieken in figuur 3.

In de grafiek zit ook nog een hobbeltje bij 4275 Hz. Die frekwentie komt overeen met een golflengte van 8 cm. Een spouw van 4 cm hoort dus bij de halve golflengte en kennelijk zien we hier dus een staande golf in de spouw.

 

3.3    Een berekening van een gaatjesplaat gevuld met absorptiemateriaal

In figuur 3 was een gaatjesplaat getoond met een lege ruimte tussen de plaat en de achterliggende zware constructie (figuur 2). Een theoretische gaatjesplaat absorbeert géén geluid, daarom was (uit de losse pols) enige absorptie toegevoegd in de keel. Thans worden de berekeningen uit figuur 3 herhaald in figuur 4 waarbij de spouw geheel is gevuld met een absorptiemateriaal waarvan de stromingsweerstand σ gelijk is aan 20 000 rayl/m. Die waarde is door trial and error uitgezocht. Volgens B.3.3 leiden zowel een hogere als een lagere waarde tot minder hoge pieken. Verder vereist (ook weer volgens B.3.3) een andere constructie een andere stromingsweerstand.

Figuur 4:  Een berekening, met het lagenmodel, van de absorptie van een gaatjesplaat gevuld met geluidabsorberend materiaal. De resultaten gelden bij loodrechte inval. In het model is absorptiemateriaal verondersteld met een stromingsweerstand van 20000 rayl/m. De diepte van de spouw is 40 mm, de dikte van de plaat bedraagt 15 mm.

 

In de pieken benaderen alle curven 100% absorptie. Dat is niet vanzelfsprekend, want het is ook voorstelbaar dat een variërende openingsgraad steeds een andere stromingsweerstand vraagt.

De plaats van de pieken voldoet ongeveer aan formule (2). Bij 1% openingsgraad zou de piek bij 222 Hz moeten liggen, maar uit de figuur lezen we 200 Hz af. Ook bijvoorbeeld de blauwe piek is iets naar links geschoven; formule (2) levert 1570 Hz.

De resonantiefrekwentie stijgt met de openingsgraad. Dat wordt in de praktijk nog wel eens gezien als een nadeel, maar een voordeel is dat de curven duidelijk breder worden. In een restaurant kan bijvoorbeeld de roze curve te verkiezen zijn boven de rode.

  

3.4    De constructiedikte in relatie tot de frekwentie

In webpagina B.3.3 is de gouden regel van geluidabsorberende lagen uiteengezet: absorptie treedt op als de laagdikte minimaal een kwart van de golflengte is. Bij een absorptielaag van 4 cm hoort dus een golflengte van 16 cm, waarbij weer een frekwentie hoort van 342/0.16 = 2138 Hz. Boven die frekwentie is de absorptiecoëfficiënt dicht bij 100%, onder die frekwentie neemt de absorptie af met afnemende frekwentie. In B.3.3 werd daarbij een tweede voorwaarde gesteld: de optimale stromingsweerstand van de laag moet met zorg worden gekozen, want zowel een lagere als een hogere waarde doet de absorptie afnemen.

 

Een voordeel van een gaatjesplaat is dat de absorptie bij een lagere frekwentie optreedt dan voorspeld met de kwart-lambdaregel. In figuur 5 wordt daarvan een voorbeeld gegeven berekend met het lagenmodel. Er wordt uitgegaan van een laag absorptiemateriaal van 40 mm, geplakt op dik beton. De stromingsweerstand is gekozen als 20 000 rayl/m waarbij een optimale waarde van de absorptie wordt bereikt. Althans, volgens het lagenmodel. Vóór de laag absorptiemateriaal wordt nu ook een gaatjesplaat aangebracht met een dikte van 15 mm en een openingsgraad van 5%. In figuur 5 staan twee curven: één voor de kale absorptie en één voor de gaatjesplaat plus absorptielaag.

Figuur 5:  De absorptiecoëfficiënt, berekend met het lagenmodel bij loodrechte inval, van een kale laag absorptie op een harde achterwand (in groen) en dezelfde laag absorptiemateriaal met een voorgeplaatste gaatjesplaat met een openingsgraad van 5% (rood). De kale absorptielaag heeft een dikte van 40 mm, de stromingsweerstand is 20 000 rayl/m. De gaatjesplaat is 15 mm dik.

 

Bij een kwart-lambdalaag van 4 cm is de golflengte gelijk aan 16 cm en de bijbehorende frekwentie gelijk aan 2138 Hz. In de figuur valt te zien dat de groene lijn bij een wat lagere frekwentie een maximum bereikt. Maar de rode lijn reikt nog veel lager: de rode lijn is rond 400 Hz een stuk gunstiger dan de groene.

De winst is ruwweg anderhalf octaaf, maar er moet een hoge prijs voor worden betaald boven 800 Hz. De hier getoonde gaatjesplaat heeft in de praktijk eigenlijk alleen nut indien die in een ruimte wordt gecombineerd met aanvullende absorberende constructies die de absorptie boven 1000 Hz voor hun rekening nemen. Dat is soms ook helemaal niet zo moeilijk. Meubilair, gordijnen, vloerkleden en kleding van aanwezige mensen kunnen hierin voorzien.

 

Indien een laag van 16 cm wordt gebruikt in plaats van 4 cm, wordt de winst van de gaatjesplaat ten opzichte van de kale absorptielaag gering. Immers, de "startfrekwentie" van de kale absorptielaag wordt viermaal zo laag en daalt tot 2138/4 = 534 Hz, maar de daling van de resonantiefrekwentie gaat met de wortel en daalt ongeveer een factor twee van 429 naar 195 Hz [[6]]. Zie het resultaat in figuur 6.

Figuur 6:  Herhaling van figuur 5, maar de spouwdiepte is opgevoerd tot 160 mm, waarbij een opener absorptiemateriaal in de spouw wordt gebruikt met een stromingsweerstand van 5 000 rayl/m. De laagfrekwente winst van de gaatjesplaat is minder dan één oktaaf.

 

3.5    De gaatjesplaat bij scheve inval

In de voorgaande paragrafen zijn de voorbeelden berekend bij loodrechte inval van het geluid op de plaat, maar in webpagina B.3.3 was al aandacht besteed aan de absorptie bij scheve inval. In figuur 7 wordt die methode (zie het figuuronderschrift) herhaald voor een gaatjesplaat op een spouw van 40 mm. De spouw is geheel gevuld met absorptiemateriaal met een stromingsweerstand gelijk aan 20 000 rayl/m.

Figuur 7:  Berekening van de absorptiecoëfficiënt van een gaatjesplaat voor een harde achterwand. De plaatdikte is 15 mm, de spouwdiepte is 40 mm, gevuld met absorptiemateriaal waarvan sigma = 20 000 rayl/m. De gatafstand is 15 mm, de gatgrootte is zo gekozen dat de openingsgraad gelijk is aan 5%. De zwarte lijnen zijn berekend met een lagenmodel bij verschillende invalshoeken van 2.5° t/m 87.5°. De rode lijn geeft vrijwel loodrechte inval (2.5°, om precies te zijn).

 

In figuur 7 is te zien dat de absorptiepiek lager wordt bij toenemende invalshoek, maar de breedte van piek neemt wel toe. Er is één belangrijk detail: de piek schuift niet of nauwelijks als de hoek varieert. Ter vergelijking wordt in figuur 8 een overeenkomstige berekening gepresenteerd van een kale plaat van 40 mm. De stromingsweerstand is bewust hoog gekozen (100 000 rayl/m). De rode absorptiecurve bij (vrijwel) loodrechte inval doet het niet zo best, een lagere waarde van de stromingsweerstand (20 000 rayl/m) zou helpen. Echter, voor de invalshoeken in de orde van 40 tot 80° doet de hoge stromingsweerstand het beter. Zie figuur 12 in B.3.3 voor meer informatie.   

Figuur 8:  Berekening van de absorptiecoëfficiënt van een kale plaat absorptiemateriaal van 40 mm dik

 waarvan sigma = 100 000 rayl/m.

 

Figuur 8 laat zien dat een kale plaat absorptiemateriaal beter gaat presteren bij scheve inval. Wanneer de invalshoek in de orde is van 70° is de absorptiecoëfficiënt van de kale plaat bij 200 Hz zelfs hoger dan de absorptie van de gaatjesplaat.

Al eerder (in B.3.3) is gemeld dat het niet lukt om uit de waarden per hoek één waarde voor alzijdige inval te berekenen (en dat zal nog eens uitgebreid worden uiteengezet in de volgende alinea’s), maar we durven op grond van de figuren 7 en 8 zeker te stellen dat hier een zeer teleurstellend resultaat voor de gaatjesplaat wordt gepresenteerd. Ook hierop komen we later terug.

 

4.    De ideale spouwvulling en de grenzen van het lagenmodel

4.1    Het theoretische lagenmodel en het semi-empirische programma Zorba

Het vullen van de spouw met een absorberend materiaal zorgt voor de energetische verliezen die nodig zijn om een gaatjesplaat tot een absorberend element te maken. In de voorgaande paragraaf werd getoond dat een lege gaatjesplaat in de zaalakoestiek meestal zinloos is omdat de interne wrijving bij de gebruikelijke platen te gering is [[7]].

Maar: "The most difficult part of resonator design is the prediction of the internal resistance". Deze zin komt uit het boek van Vér & Beranek en betekent o.a. dat het lagenmodel, dat ons tot nu toe zoveel inzicht verschafte, op zijn grenzen stuit. Het lagenmodel uit deze site gaat uit van lagen die zich loodrecht op de voortplantingsrichting oneindig uitstrekken. Dat model werkt bij lagen absorptiemateriaal waar geluiddruk en deeltjessnelheid overal op het oppervlak gelijk zijn. Voor een eerste schatting van de impedantie was het model nog wel te redden (met behulp van formule 6), maar voor de berekening van de wrijving gaat het mis. Wrijving is afhankelijk van de grootte van de deeltjessnelheid en die is achter de gaatjes zeer hoog, vooral bij een kleine openingsgraad. Vlak achter de gaatjes daalt de impedantie dus sterk en het ligt daarom voor de hand om de impedantie van de laag absorptiemateriaal te laten zakken om een goede match te verkrijgen. Een lagere impedantie kan worden bereikt door een lagere stromingsweerstand te kiezen.

Maar dan komt de vraag: hoeveel lager moet de stromingsweerstand dan worden? En daar komt de verzuchting uit Vér & Beranek tevoorschijn, want het is lastig om er regels voor te geven. Zij proberen het wel in hun boek, maar erg helder wordt het niet. En zoals zo vaak zit er dan weinig anders op dan te meten en via trial and error het juiste materiaal te kiezen.

Hier komt het Zorbamodel tevoorschijn dat al meerdere malen is genoemd. Het gaat uit van dezelfde theorie die onder het lagenmodel ligt, maar de blinde kennisvlekken worden opgevuld met resultaten van metingen in de praktijk. Dergelijke modellen zijn heel gebruikelijk in de akoestiek. Er worden dan gemiddelden getrokken door wolken van meetpunten en de gevonden regressielijnen worden in formulevorm gegoten. Of dat bij Zorba altijd de juiste uitkomsten biedt is ons onbekend, maar de Zorba-ontwikkelaars doen hun best om in een toelichting verantwoording af te leggen. In ieder geval wordt er in deze site vanuit gegaan dat het model zeer behulpzaam kan zijn in de eerste fase van het ontwerp. Maar altijd blijven metingen aan een plaat noodzakelijk (eventueel door een betrouwbare leverancier) indien wordt overgegaan op toepassing in de praktijk [[8]].

 

4.2    De weergave van meetresultaten in tertsen

Voordat enkele resultaten van Zorba worden gegeven is enige uitleg nodig over de manier waarop de resultaten worden gepresenteerd. Dat wordt geïllustreerd in figuur 9.

 

Figuur 9:  De weergave van de absorptiecoëfficiënt volgens drie methoden berekend met het lagenmodel bij loodrechte inval. De rode curve toont fijnmazige berekeningen. Bij de groene en de blauwe curve zijn de resultaten per terts gemiddeld. De groene curve geeft de resultaten volgens een veelgebruikte methode, de blauwe curve geeft telkens één waarde per terts, onderling verbonden door rechte lijnen.

De plaatdikte is 20 mm, de spouwdiepte bedraagt 40 mm, de openingsgraad is 1% en de stromingsweerstand is 20 000 rayl/m.

Let op: Om de tekening duidelijker te maken is de horizontale as is uitgerekt ten opzichte van de voorgaande figuren.

 

In figuur 9 geeft de rode curve een fijnmazige berekening zoals die wordt uitgevoerd door het lagenmodel. Er wordt gerekend met 30 stappen binnen een oktaaf. Eventueel kan dat nog verder worden verfijnd, de computer is geduldig. Echter, Zorba geeft de resultaten weer in tertsen zoals dat ook bij de meeste metingen gebeurt. Dat is dus een onderverdeling van het oktaaf in drie delen.

Een verdeling in tertsen is in het lagenmodel eenvoudig te bereiken door de energie in een terts te middelen en die toe te kennen aan alle berekende punten binnen die terts. Dan ontstaat de groene trapjescurve in de figuur. Dat is de curve die men vaak tegenkomt in de praktijk, soms in de vorm van een staafdiagram. Maar het is ook mogelijk om de blauwe curve te gebruiken, waarbij in iedere terts slechts één punt wordt weergegeven. De groene en de blauwe curve geven evenveel informatie; Zorba volgt de blauwe methode. Als de blauwe curve wordt vergeleken met de fijnmazige rode curve, blijkt de piek altijd gemist te worden. Het zal anderzijds duidelijk zijn dat een piek vooral wordt gemist als die smal is. Bij bredere pieken volgt de blauwe curve veel makkelijker de rode.

 

4.3    Een vergelijking van het lagenmodel en Zorba

In paragraaf 4.1 is beschreven dat het lastig is, zo niet onmogelijk, om in het lagenmodel de juiste spouwvulling te kiezen. Ter illustratie volgt hier een vergelijking tussen het lagenmodel en Zorba. Daarom worden twee curven uit figuur 4 nagerekend met behulp van het programma Zorba. De resultaten staan in de figuren 10-links voor een openingsgraad van 2% en 10-rechts indien de openingsgraad gelijk is aan 10%. De curven gelden in beide modellen bij loodrechte inval.

 

Figuur 10:  De absorptiecoëfficiënt bij loodrechte inval op een gaatjesplaat voor een laag absorptiemateriaal en een harde achterwand. De plaatdikte is 15 mm, de spouwdiepte is 40 mm. De gatafstand is 15 mm, de gatgrootte is zo gekozen dat de openingsgraad links gelijk is aan 2% en rechts 10%.

De rode curve geeft de uitkomsten berekend met het lagenmodel met een volledige spouwvulling waarvoor geldt σ = 20 000 rayl/m. In blauw is dezelfde configuratie doorgerekend met het model Zorba. De overeenkomst is zeer matig, waarna de stromingsweerstand van de spouwvulling voor de groene curve is verlaagd tot 2 000 (links) of 4 000 (rechts) rayl/m.

De rode curven zijn berekend met een onderverdeling van 30 frekwentielijnen per oktaaf; Zorba rekent in tertsen, dus met drie punten per oktaaf. Daarom worden (zoals in de voorgaande paragraaf en figuur) voor Zorba afzonderlijke punten gebruikt die worden verbonden door rechte lijnen die verder geen informatie bevatten.

 

Zoals al voorspeld in de voorgaande paragraaf gaat het lagenmodel in de fout omdat de impedantieaanpassing achter de gaatjes te simpel wordt behandeld; de overeenkomst tussen de rode curve en de blauwe is zowel links als rechts zeer matig. Maar er kan wel een goede overeenkomst worden gevonden indien in Zorba een lagere stromingsweerstand (dus een opener materiaal) wordt gebruikt, gegeven als goene curven. Een stromingsweerstand van 20 000 rayl/m in het lagenmodel geeft vrijwel hetzelfde resultaat als 2 000 rayl/m in Zorba in het linker geval, en 4 000 rayl/m in het rechter geval. Een hogere openingsgraad vraagt dus ook om een dichter materiaal al zijn de verschillen klein: een factor 5 voor de openingsgraad leidt slechts tot een factor 2 in stromingsweerstand.

 

De verschillen tussen het lagenmodel en Zorba brengen ons ertoe om hierbij afscheid te nemen van het lagenmodel. In het volgende hoofdstuk zullen enkele rekenvoorbeelden worden gegeven die geheel zijn uitgevoerd met Zorba. Maar de eerder gegeven waarschuwing wordt hier herhaald: bij afwijkingen tussen het lagenmodel en Zorba vertrouwen wij de uitkomsten van Zorba meer dan die van het lagenmodel. In hoeverre Zorba een betrouwbare voorspelling levert is door ons niet onderzocht. Bij een keuze van een bepaald materiaal voor een praktische situatie dienen altijd meetuitkomsten van dat materiaal voorhanden te zijn.

 

5.    Enkele berekeningen met Zorba aan een gaatjesplaat

5.1    De invloedsvariabelen van een gaatjesplaat

In paragraaf 2.1 was formule (2) gegeven voor de resonantiefrekwentie van een gaatjesplaat. Die wordt hier herhaald:

(7)

Hierin is is O_p de openingsgraad, d_pl de dikte van de plaat en d_spw de spouwdiepte. De geluidsnelheid wordt gerepresenteerd door c. De formule geeft dus in theorie de mogelijkheid om de variabelen onder het wortelteken te schalen: als er een dunnere plaat wordt gebruikt kan de spouwdiepte worden vergroot of de openingsgraad kan juist worden verkleind, etc.

Er moeten echter een paar kanttekeningen worden gemaakt:

• Wat gebeurt er in het frekwentiegebied buiten de resonantiefrekwentie? Mogen de schaalregels dan ook worden toegepast?

• Om van een resonerend systeem een absorberend systeem te maken is het noodzakelijk om absorptiemateriaal toe te voegen in de spouw. Bij een gevulde spouw kunnen we het materiaal karakteriseren door de stromingsweerstand σ (sigma).

• Indien de spouw slechts gedeeltelijk is gevuld speelt uiteraard de verhouding tussen luchtlaag en absorptielaag een rol.

• Maar dat betekent in de formule dat de invloed van d_spw zich anders gedraagt dan die van O_p en d_pl. Er lijkt anderzijds geen reden om de onderlinge koppeling van O_p en d_pl los te laten.

• Maar klopt de formule eigenlijk wel? Er is al eerder gemeld dat voor formule (2) wordt uitgegaan van een starre prop lucht in de gaatjes, maar dat dat model niet helemaal houdbaar is. Er zijn dus in de literatuur allerlei correcties te vinden op de formule.

• In veel gevallen in de akoestiek wordt voor de grootheid c in de formule de adiabatische geluidsnelheid genomen met een waarde rond 342 m/s. Als de spouw gevuld is, is warmte-uitwisseling mogelijk en daalt c tot de isotherme waarde, rond 289 m/s.

 

We gaan er in het vervolg van dit verhaal van uit dat de bouwers van het Zorbamodel die correcties hebben verwerkt. Grootste onzekerheid zijn de grenzen aan dit model. Mag bijvoorbeeld zomaar een openingsgraad van bijvoorbeeld 0.01% worden ingevuld of een plastic vel met d_pl = 0.1 mm? In de komende paragrafen zullen enkele van de genoemde punten worden behandeld

5.2    De optimale spouwvulling volgens het Zorbamodel.

De rekenvoorbeelden worden gestart met een zoektocht naar de ideale combinatie van afmetingen en spouwvulling gekarakteriseerd door de stromingsweerstand die in paragraaf 4.1 tot het moeilijkste onderdeel benoemd was bij het ontwerpen van een gaatjesplaat. Er blijkt niet anders op te zitten dan simpelweg proberen. In figuur 11 worden wat resultaten gegeven voor een combinatie van de spouwdiepte (40 en 160 mm) en de openingsgraad (2.5 en 10%). Beide variëren dus een factor vier.

In webpagina B.6.3 wordt uitgelegd dat, gegeven de genormeerde meetmethode, absorptiecoëfficiënten boven 1.0 mogelijk zijn bij alzijdige inval. Figuur 11 toont dat effect in sterke mate, vooral bij een spouwdiepte van 16 mm.

 

Figuur 11: De absorptiecurven voor gaatjesplaten bij alzijdige inval, berekend met Zorba voor verschillende waarden van de stromingsweerstand van de spouwvulling. De bovenste rij toont een openingsgraad van 2.5%, op de onderste rij is dat 10%. De linker kolom toont een spouwdiepte van 40 mm, voor de rechter kolom geldt 160 mm. De plaatdikte is steeds gelijk aan 15 mm.

 

Bij een variërende stromingsweerstand zien we in de wirwar van lijnen steeds dezelfde trend. Bij een lage stromingsweerstand ontstaat een beetje absorptie rond de resonantiefrekwentie, bij oplopende waarden stijgt de absorptie tot een optimale waarde en daarboven zakt de curve weer rond de resonantiefrekwentie. Echter, de piek verbreedt zich wel, hetgeen in de praktijk een belangrijke eigenschap kan zijn.

 

Uit de figuren kan ook een trend worden afgeleid voor de optimale stromingsweerstand. Die staat, per figuur, vermeld in de volgende tabel 1. 

 

Tabel 1:  De optimale waarde van de stromingsweerstand (in rayl/m), afgeleid uit de curven van figuur 11.

	spouwdiepte  40 mm	spouwdiepte  160 mm
openingsgraad  2.5 %	2 000 ... 10 000	1 000 ... 5 000
openingsgraad  10 %	5 000 ... 20 000	2 000 ... 10 000

 

Indien uit formule 7 schalingsregels worden afgeleid, zouden de figuur linksboven en rechtsonder overeen moeten komen. Immers, als zowel de openingsgraad als de spouwdiepte met een factor vier toenemen blijft het getal onder het wortelteken gelijk. Uit tabel 1 blijkt dat dan ook de optimale stromingsweerstand gelijk blijft.

In webpagina B.3.3 was voor een kale plaat absorptie afgeleid dat laagdikte en stromingsweerstand daar vrijwel omgekeerd evenredig zijn: indien de laagdikte vier maal zo groot wordt, moet de stromingsweerstand vier maal zo laag worden gekozen. Die schalingsregel blijkt hier niet op te gaan: tussen de linker en rechter kolom zit een factor twee in plaats van vier.

 

De curven kunnen ook worden vergeleken met de resonantiefrekwentie van de platen. Tabel 2 toont de berekende waarden. Uiteraard zijn de uitkomsten linksboven en rechtsonder weer gelijk.

 

Tabel 2:  De resonantiefrekwenties, in Hz, volgens formule (7) voor de vier constructies uit figuur 11. 

	spouwdiepte  40 mm	spouwdiepte  160 mm
openingsgraad  2.5 %	352	176
openingsgraad  10 %	704	352

 

Vergelijking met figuur 11 leert dat de resonantie goed is terug te vinden voor drie van de vier figuren. Maar er is één bijzonder geval: rechtsonder. De curven doen het inderdaad prima bij 352 Hz, maar ook de drie tertsen links daarvan laten hoge absorptiecoëfficiënten zien. De oorzaak zal in de volgende paragraaf worden uiteengezet.

 

5.3    Alweer loodrechte en alzijdige inval: de gaatjesplaat versus kale absorptie

In webpagina B.3.3 zijn berekeningen uitgevoerd aan een kale plaat absorptiemateriaal. Voor een laagdikte van 40 mm kwam een optimale stromingsweerstand van ongeveer 20 000 rayl/m uit de bus. Die berekeningen werden uitgevoerd met het lagenmodel. In paragraaf 4.3 (figuur 10) werd uiteengezet dat die waarde veel te hoog is voor Zorba. Een waarde van 2 000 of 4 000 rayl/m lag meer voor de hand, afhankelijk van de openingsgraad.

Figuur 10 was echter doorgerekend bij loodrechte inval. In figuur 12 worden de uitkomsten van Zorba herhaald, maar nu zijn de absorptiecurven bij alzijdige inval toegevoegd. Links is weer een waarde gekozen van 20 000 rayl/m die min of meer optimaal was bij een laagdikte van 40 mm kale absorptie; aan de rechterzijde zijn de uitkomsten gegeven bij respectievelijk 2 000 en 4 000 rayl/m bij 2% en 10% openingsgraad. De groene curven in de rechterkolom zijn dus gelijk aan de groene curven in figuur 10.

 

Figuur 12: De absorptiecurven voor gaatjesplaten bij loodrechte en alzijdige inval, berekend met Zorba. De bovenste rij toont een openingsgraad van 2%, op de onderste rij is dat 10%. De linker kolom toont een spouwvulling met sigma gelijk aan 20 000 rayl/m, in de rechterkolom is sigma lager (zie tekst). De plaatdikte is steeds gelijk aan 15 mm, de spouwdiepte is 40 mm.

De resonantiefrekwentie volgens formule (7) is 315 Hz voor de bovenste rij en 704 Hz voor de onderste.

 

In paragraaf 3.5 was al voorspeld dat de plaats van de resonantiepiek nauwelijks schuift indien een geluidgolf scheef invalt. Dat beeld wordt hier bevestigd. De simpele formule (6) leidt tot 315 Hz in de bovenste rij van de figuur en 704 Hz in de onderste rij. Bij loodrechte inval klopt dat prima, bij alzijdige inval schuiven de piekwaarden één tot twee tertsen naar links. De alzijdige curven zijn ook breder. Dat is goed nieuws voor de gebruiker van dit soort constructies in de praktijk. Een smalle hoge piek kan in de praktijk soms nuttig zijn, maar meestal (in scholen restaurants, enz. enz.) wordt dat toch gezien als een nadeel van een gaatjesplaat.

Vergelijking van de linker en rechter kolom van figuur 12 leert dat de loodrechte inval baat heeft bij de redelijk lage stromingsweerstand van de rechter kolom. Maar dat beeld kantelt bij alzijdige inval. De rode curven van de linker kolom zijn superieur aan die uit de rechter kolom en zo duikt toch weer een stromingsweerstand op van ongeveer 20 000 rayl/m.

 

Figuur 12 wordt nu herhaald voor een kale plaat van 40 mm dik; de resultaten staan in figuur 13. De stromingsweerstand is, via trial and error, zodanig uitgezocht dat links de beste waarde wordt gevonden voor de groene curve bij loodrechte inval (20 000 rayl/m) en rechts voor de rode curve bij alzijdige inval (80 000 rayl/m).

 

Figuur 13:  De absorptiecurven voor een kale plaat absorptie bij loodrechte en alzijdige inval, berekend met Zorba. De dikte van de plaat bedraagt 40 mm. Links is de stromingsweerstand sigma gelijk aan 20 000 rayl/m, rechts is dat 80 000 rayl/m.

 

Figuur 13-rechts toont een zeer opvallend beeld: een hoge waarde van de absorptiecoëfficiënt bij alzijdige inval wordt bereikt bij een veel lagere frekwentie, 400 Hz, dan verwacht. Volgens eerder genoemde kwart-lambdaregel absorbeert een kale plaat boven 2138 Hz. In de linker figuur klopt dat prima voor de groene curve, maar de rode curve in de rechter figuur laat een winst zien van niet minder dan één à twee oktaven. Dat mag worden beschouwd als een zeer vreugdevolle eigenschap voor de praktijk.

De vreugde over de kale plaat gaat gepaard met teleurstelling over de gaatjesplaat. De helmholtzresonator was bedoeld om te absorberen in een een laagfrekwent gebied dat onbereikbaar leek voor de vlakke plaat, dus bijvoorbeeld 200 tot 400 Hz in figuren 12 en 13, maar de kale plaat doet het nauwelijks minder. De teleurstelling is overigens alleen akoestisch. Er zijn allerlei architectonische en bouwtechnische redenen om wél gaatjesplaten te gebruiken.

 

5.4    Openingsgraad, plaatdikte, spouwdiepte

In de voorgaande paragraaf is ingegaan op de verschillen en overeenkomsten tussen een gaatjesplaat en een kale absorptieplaat. In figuur 14 worden de resultaten bij alzijdige inval gecombineerd. De spouwdiepte is in de linker kolom gelijk aan 40 mm, rechts is die 160 mm. In de bovenste rij is de openingsgraad gelijk aan 2.5%, onder 10%. De figuren bevatten ook de curven voor kale platen, in de linker kolom voor 4 cm dik en rechts voor 16 cm. Uiteraard is daarbij geen sprake van een openingsgraad, dus de blauwe curven voor de kale plaat zijn op de bovenste en onderste rij gelijk. De parameter voor de verschillende curven is de dikte van de plaat, die tot nu toe steeds op 15 mm was gehouden maar hier varieert met telkens een factor vier.

 

Figuur 14:  Absorptiecurven voor een gaatjesplaat en een kale plaat absorptie bij alzijdige inval, berekend met Zorba. Linker kolom toont een laag van 40 mm, rechts staat 160 mm. Bovenste rij toont een openingsgraad van 2.5%, onder staat 10%. Voor de ingevoerde stromingsweerstanden zie tabel 3..

 

De stromingsweerstand is per curve steeds gevarieerd om een optimale waarde te vinden. Dan blijkt echter dat binnen één figuur, dus bij een vaste waarde van spouwdiepte en plaatdikte, steeds dezelfde waarde uit de berekeningen rolt. Er is één uitzondering: voor de kale plaat moet een aanzienlijk hogere waarde worden gekozen dan voor de vier gaatjesplaten. De vaste waarde voor de stromingsweerstand gaat nog verder: ook bij een andere openingsgraad blijft de optimale waarde (ongeveer) constant. Kortom: alleen de dikte van de absorptielaag (met gaatjes of kaal) doet ter zake voor een keuze van de stromingsweerstand. Tabel 3 geeft de gebruikte waarden.

 

Tabel 3:  De optimale waarden van de stromingsweerstand in rayl/m. Voor de stromingsweerstand van de gaatjesplaten is eigenlijk alleen de spouwdiepte van belang. Bij wisselende plaatdikte en/of openingsgraad vinden we nauwelijks verschillen. De kale absorptieplaat vraagt wel een aanzienlijk dichter materiaal.

	spouwdiepte  40 mm	spouwdiepte  160 mm
gaatjesplaat	20 000	5 000
kale absorptieplaat	80 000	10 000

 

Uit de tabel blijkt dat de veelgenoemde schaling tussen stromingsweerstand en laagdikte niet geheel opgaat. Voor een vlakke plaat van 160 mm dik zouden we eerder een optimale stromingsweerstand van 20 000 rayl/m verwachten, maar die waarde blijkt wat minder te presteren.

  

Volgens formule 7 maakt het bij de resonantiefrekwentie niet uit of de openingsgraad wordt gevarieerd of de plaatdikte. Uit figuur 14 blijkt dat dat ook in hoge mate geldt voor frekwenties buiten de resonantiepiek. Een openingsgraad van 2.5% en een plaatdikte van 1 mm in de figuur linksboven komt bijvoorbeeld sterk overeen met 10% bij 4 mm in de figuur linksonder. En zo zijn er veel meer overeenkomsten te vinden.

Figuur 14 bevestigt ook de conclusie uit de voorgaande paragraaf: de laagfrekwente winst van een gaatjesplaat t.o.v. een kale plaat is gering. Bij 16 mm plaatdikte is verschil te zien, maar in alle ovderige gevallen is de kale plaat minstens zo goed. Uiteraard zouden de verschillen toenemen als de plaatdikte nog verder werd opgevoerd. Het vergroten van de spouwdiepte helpt niet; dat was ook al in de figuren 5 en 6 uiteengezet.

 

Opvallend aan de curven uit figuur 14 is dat de resonantiefrekwentie nauwelijks terug te vinden is. Laten we als voorbeeld de figuur linksboven eens beschouwen. Voor de groene curve geldt een resonantiefrekwentie van 341 Hz. Die is duidelijk te zien. Maar bij iedere stap van de plaatdikte met een factor 1/4 gaat de resonantiefrekwentie een factor 2 omhoog, uitmondend in 2725 Hz voor de roze curve, en daarvan is weinig of niets terug te vinden. Volgens de uitkomsten van Zorba wordt de absorptiecurve van een gaatjesplaat vaak veel meer bepaald door de spouwvulling dan door de gaatjesplaat en in akoestisch opzicht voegt een gaatjesplaat dan weinig toe. Geperforeerde gipsplaten van anderhalve centimeter dik vertonen nog wel enige laagfrekwente winst, maar een geperforeerd metalen plaat draagt in de hier genoemde configuratie niet bij aan het absorberend gedrag. Dat wil niet zeggen dat een gaatjesplaat in de praktijk zinloos is. Het kan vaak een functie hebben als afdekplaat of omhulsel voor bijvoorbeeld steenwolplaten die in de bouw niet of nauwelijks toepasbaar zijn als kale platen. In webpagina C.1 worden wat voorbeelden uit de praktijk gegeven van zinvolle toepassingen.

 

5.5    Bieden gesloten vlakke platen wellicht meer absorptie dan gaatjesplaten?  

In rekenmodellen wordt de resonantiefrekwentie berekend door een massa-veerconstructie te veronderstellen waarin de massa wordt gegeven door de plaat die veert op de spouw. Bij gesloten vlakke platen wordt simpelweg gerekend met de massa per vierkante meter, maar bij gaatjesplaten wordt een truc toegepast: de oppervlaktemassa wordt berekend uit de massa van lucht gedeeld door de openingsgraad. Bij een plaat van 16 mm en een openingsgraad van 2.5 % komt daar dus ongeveer 0.7 kg/m² uit. Een gesloten plaat komt daar makkelijk onder en inderdaad is met een vlakke plaat eenvoudig een hoge absorptiecurve rond bijvoorbeeld 50 of 100 Hz te halen, hetgeen met een gaatjesplaat vrijwel onmogelijk is. Voorwaarde bij een vlakke plaat is wel dat een hogere waarde voor de stromingsweerstand van het materiaal in de spouw wordt gekozen.

De resonantiepieken zijn meestal zeer smal en het hoogfrekwente gedrag van een vlakke plaat is daarom veel minder dan van een gaatjesplaat. Die tendeert, zoals in figuur 14, naar de absorptie van kale absorptie en dat is voor kale plaat onmogelijk. De vlakke-plaatabsorber is daarmee dusdanig specialistisch dat die hier verder onbesproken blijft. Wel zal in het volgende hoofdstuk een voorbeeld worden gegeven van een constructie waarin een vlakke plaat een onderdeel is.

 

6.    Voorbeelden van gelaagde constructies

6.1    Een gedeeltelijke luchtlaag achter een gaatjesplaat

In webpagina B.3.3 zijn voorbeelden gegeven van massieve absorptielagen op een harde achterwand, maar ook van constructies waarbij zich een laag lucht bevindt tussen de achterwand en de absorptielaag. In de praktijk  wordt zo’n constructie bijvoorbeeld gevonden bij een systeemplafond van absorberende tegels onder een luchtlaag, of bij speciale gordijnen die hun werking sterk ontlenen aan de laag lucht achter de gordijnen.

De invloed van een luchtlaag wordt nu herhaald voor een gaatjesplaat waarbij de spouw is onderverdeeld in een luchtlaag en een absorberende laag. In figuur 15 worden enkele rekenresultaten getoond van Zorba als de absorptielaag is aangedrukt tegen de gaatjesplaat. De spouw is steeds 160 mm, de onderlinge verdeling van lucht en absorptie varieert, maar ter vergelijking is ook een geheel gevulde spouw doorgerekend ("0-160").

Figuur 15:  De alzijdige absorptie van een gaatjesplaat voor een spouw van 160 mm voor een harde wand. De plaatdikte is gelijk aan 15 mm, de openingsgraad is 10%. De spouw is verdeeld in een laag lucht, variërend van 0 tot 150 mm, en een laag absorptie van 160 tot 10 mm. De laag absorptie is aangedrukt tegen de gaatjesplaat. De stromingsweerstand van de absorptielaag moet iets toenemen als de dikte van de laag afneemt: van 5 000 tot 10 000 rayl/m.

 

Uit figuur 15 blijkt dat een gedeeltelijke luchtlaag weinig schade doet aan de akoestische prestaties. De geheel gevulde spouw (groen, 0-160) is weliswaar de beste, maar zelfs een laag van 10 mm absorptie plus 150 mm lucht doet het in vergelijking nog goed: op de linkerflank wordt één tot anderhalve terts verloren.

Er is één groot verschil met de plafondtegels en gordijnen uit B.3.3. Daar moest de stromingsweerstand van het materiaal sterk worden opgevoerd indien de dikte van de absorberende laag werd verminderd. De grootheden waren bij gordijnen welhaast omgekeerd evenredig. Dat verband tussen laagdikte en stromingsweerstand is in figuur 15 slechts in zeer beperkte mate aanwezig. Voor de stromingsweerstand is bij iedere curve de optimale waarde gezocht en dan blijkt er slechts een toename van 5 000 naar 10 000 rayl/m nodig te zijn bij een afname van de dikte van de absorptielaag van 160 naar 10 mm.

 

In de voorgaande teksten is enkele malen benadrukt dat het absorptiemateriaal het meest effectief is als het aangedrukt wordt tegen de achterzijde van de gaatjesplaat. Immers, de benodigde wrijving van de luchtrillingen hangt af van de deeltjessnelheid en die is bij een gaatjesplaat maximaal in en direct achter de gaatjes. In hoeverre deze bewering overeind blijft bij de berekeningen zien we in figuur 16. Daarin staan de volgende curven:

• een volledig gevulde spouw, "0(lucht)-160(absorptie)",

• twee spouwen met de absorptie tegen de achterkant van de gaatjes:  "80(lucht)-80(absorptie)" en "150(lucht)-10(absorptie)",

• twee spouwen waarbij de volgorde is omgedraaid, dus waarbij de absorptie is aangebracht op de harde achterwand: "80(absorpte)-80(lucht)" en "10(absorptie)-150(lucht)".

Figuur 16:  De alzijdige absorptie van een gaatjesplaat voor een spouw van 160 mm voor een harde wand. De plaatdikte is gelijk aan 15 mm, de openingsgraad is 2.5%. De spouw is verdeeld in een laag lucht, variërend van 0 tot 150 mm, en een laag absorptie van 160 tot 10 mm. In tegenstelling tot figuur 15 is de laag absorptie nu ook aangebracht op de harde achterwand, zie de indices (l) en (a). Zie tekst voor de benodigde stromingsweerstand van de absorptielaag.

 

De eerste twee categorieën kwamen we ook al tegen in figuur 15, al was daar de openingsgraad gelijk aan 10%. We zien voor die drie curven dus ook hetzelfde beeld met een verschuiving naar links van één oktaaf, hetgeen voorspeld was door formule(7). De twee overige curven verschillen sterk:

• Een spouw met 80 mm absorptie op de harde achterwand en 80 mm lucht achter de gaatjes (dus de oranje curve "80(a)-80(l)") doet het nog prima; de piek wordt alleen iets smaller. Voorwaarde is wel dat de stromingsweerstand van het absorptiemateriaal sterk wordt opgevoerd, nl. van 5 000 naar 50 000 rayl/m. Dat is vrijwel dezelfde waarde die moet worden gekozen bij een kale absorptielaag van 80 mm dik.

• Maar een kale laag absorptie van 10 mm absorbeert pas redelijk boven 1000 Hz. Als daar dan op 150 mm afstand een gaatjesplaat voor wordt gezet die resoneert bij 125 Hz, is het totale effect zeer gering. Dat is te zien in de paarse curve "10(a)-150(l)". Bij de paarse curve staan vraagtekens voor de stromingsweerstand. Daarmee wordt bedoeld dat er geen optimale waarde kan worden gevonden, alle waarden van de stromingsweerstand werken even slecht.

• De prestaties van een spouw van 40 mm absorptie en 120 mm lucht achter de gaatjes wordt hier niet getoond. De prestaties zijn nog redelijk maar toch al aanzienlijk minder dan de omgekeerde constructie met 40 mm absorptie achter de gaatjes. Bij nog dunnere absorptielagen op de achterwand zet de neergang definitief in.

 

6.2    Een gelaagde constructie: de breedbandabsorber

In de jaren 90 van de vorige eeuw is bij de Engelse BBC een absorberende constructie ontwikkeld voor hun TV- en radiostudio’s: de breedband-absorber. Een principeschets staat in figuur 17.

Figuur 17:  Een combinatie van een kale plaat absorptiemateriaal plus een vlakke-plaatabsorber.

 

In de absorber kan in principe een gaatjesplaat worden verwerkt, maar het is gebruikelijker om een gesloten laag te gebruiken. Bij afstemming van de resonanties blijkt dan meestal een dunne laag te verkiezen in de vorm van een kunststof folie/plaat. Beide lagen absorptiemateriaal kunnen een verschillende stromingsweerstand hebben.

De absorber combineert een kale plaat absorptiemateriaal aan de voorzijde en een vlakke-plaatabsorber aan de achterzijde. Mogen nu ook de absorptiecurven worden gecombineerd? Het antwoord op die vraag moet door akoestische specialisten worden gegeven, maar een indicatie is hier wel te geven. Helaas kunnen we daarbij niet uitgaan van het model Zorba, want dat model behandelt deze combinatie niet en daarom vallen we terug op het lagenmodel, dat wél in staat is om de absorptie per invalshoek te berekenen, maar niét om daaruit één curve voor alzijdige inval te becijferen.

 

Figuur 18:  De absorptiecoëfficiënt van twee constructies berekend met het lagenmodel bij verschillende invalshoeken, startend bij 2.5°, oplopend in stappen van 5° tot 87.5°.

De linker constructie is een vlakke-plaatabsorber, bestaande uit een vlakke plaat van 1 mm polycarbonaat (1100 kg/m³ dus 1.1 kg/m²) voor een absorberende laag van 80 mm dik met een stromingsweerstand van 500 rayl/m.

De rechter figuur is berekend voor een absorberende laag voor een harde wand. De laagdikte is 40 mm en de stromingsweerstand is 50 000 rayl/m.

 

In figuur 18 worden de twee afzonderlijke delen van een constructie volgens figuur 17 gegeven. De stromingsweerstand van de beide lagen is gekozen op grond van een set curven waaruit de optimale waarde is gekozen. De waarde verschilt sterk voor de twee delen: 500 rayl/m voor de linker figuur en 50 000 rayl/m voor de rechter.

Figuur 19:  De absorptiecoëfficiënt van een gelaagde constructie volgens figuur 17, bestaande uit de twee deelconstructies van figuur 18. Dus 40 mm absorptie 1 met stromingsweerstand gelijk aan 50 000 rayl/m, dan een plastic laag van 1 kg/m² en vervolgens een absorptielaag van 80 mm met sigma = 500 rayl/m.

 

Figuur 19 toont de combinatie van de twee. Een simpele optelling van de twee curven blijkt niet mogelijk, maar het karakter van beide curven is wel degelijk herkenbaar, vooral in de frekwenties boven 800 Hz. De impedantie van de plastic laag plus absorptie is daar zo hoog dat de voorliggende laag in feite een akoestisch harde wand "ziet".

Het behoeft geen betoog dat het ontwerpen van een breedbandabsorber nog een hele klus is. Een goed ontwerp van de afzonderlijke delen is al moeilijk genoeg, maar bij de combinatie neemt het aantal variabelen en de onzekerheid van het rekenmodel nog verder toe. Een lange cyclus van rekenen en meten is onvermijdelijk.

 

7.    Samenvatting en praktijkaanbevelingen

In webpagina B.3.3 waren praktijkaanbevelingen opgenomen naar aanleiding van exercities met vlakke absorberende platen. Nu zijn ook aanbevelingen aan de beurt die zijn ontleend aan de berekening aan resonantie-absorbers. Voor de volledigheid worden de aanbevelingen uit B.3.3 hier (in soms andere bewoordingen) herhaald. Voor meer praktische informatie leze men webpagina C.1 die ook rijkelijk is voorzien van foto’s.

 

• Akoestische absorberende platen ontlenen hun werking aan wrijving van trillende lucht in materiaalporiën die daartoe afmetingen moeten hebben in de orde van 1 mm. Poriën in hout zijn te klein. Absorberende platen bestaan daarom meestal uit vezels (glaswol bijvoorbeeld) of cellen (schuimplastics). Dit type materialen wordt in de akoestiek poreuze absorbers genoemd.

• Met vlakke absorberende platen kunnen hoge absorptiecoëfficiënten worden bereikt (tot 100%). Als de platen rechtstreeks worden aangebracht op een harde, niet-absorberende achterwand (van beton, baksteen, hout, e.d.), zijn er twee belangrijke grootheden: de laagdikte en de stromingsweerstand.

• De "stromingsweerstand" is de weerstand indien door een materiaal wordt geblazen. Het is een materiaaleigenschap die vrij eenvoudig kan worden gemeten, maar de stromingsweerstand kan ook vrij nauwkeurig worden berekend met eenvoudige rekenmodellen.

• Een grotere dichtheid van een vezel- of cellenmateriaal leidt tot een hogere soortelijke massa ("bulk density") en een hogere stromingsweerstand. Die grootheden zijn dan ook sterk gekoppeld, maar verschillende materialen hebben verschillende vezelstructuren en daardoor is het verband tussen de bulk density en de akoestische eigenschappen wat minder eenduidig dan bij de stromingsweerstand.

• Voor sommige materialen (glaswol, steenwol, enz.) is de stromingsweerstand voldoende om het akoestisch gedrag te voorspellen. Bij andere materialen, geschuimde akoestische platen bijvoorbeeld, zijn meer materiaalgegevens nodig. Deze materialen vallen daarom buiten het bestek van deze site. Toch kan ook voor deze materialen met uitsluitend de stromingsweerstand een eerste schatting worden gemaakt van het akoestisch gedrag.

• Om een hoge absorptiecoëfficiënt te bereiken is een optimale keuze van de stromingsweerstand essentieel. Zowel een te hoge als een te lage waarde doen het absorberend effect teniet. Er kan dus niet zomaar een willekeurige absorptieplaat worden gekozen. De optimale stromingsweerstand hangt bovendien af van de laagdikte van het materiaal.

• Vlakke platen absorptiemateriaal absorberen alleen bij frekwenties boven een bepaalde grensfrekwentie, voor lagere frekwenties nadert de absorptie vrijwel tot nul. Een vuistregel voor de grensfrekwentie is de kwart-lambdaregel die de minimale dikte van de constructie regelt. Absorptie treedt op voor frekwenties boven de frekwentie die overeenkomt met een golflengte gelijk aan viermaal de dikte. Bijvoorbeeld: bij een grensfrekwentie van 500 Hz is de golflengte gelijk aan 68 cm (geluidsnelheid gelijk aan 342 m/s), zodat de constructiedikte minimaal 17 cm moet zijn. De wiggen in een dode kamer zijn 1 m; de bijbehorende golflengte is 4 m en dus werkt een dode kamer boven ca. 85 Hz.

• De kwart-lambdaregel wordt bevestigd door metingen wanneer de geluidgolf loodrecht invalt op de plaat. Maar er is een tweede voorwaarde: er moet weer een optimale stromingsweerstand worden gekozen; te hoge én te lage waarden doen het effect teniet.

• Bij alzijdige inval klopt de kwart-lambdaregel niet. Gelukkig maar: goede absorptie kan al beginnen bij frekwenties die twee oktaven ónder de grensfrekwentie liggen. Voorwaarde is een stromingsweerstand die wel vier maal zo hoog moet zijn als bij loodrechte inval.

• In de praktijk werken laagdikten van 40 mm meestal voldoende om luide spraak te reduceren; lagen van 15 mm werken hoogfrekwent prima, maar aanvullende absorptie in de lagere frekwenties is nodig. Absorberend behang bestaat niet.

• Tussen de harde achterwand en de plaat absorptiemateriaal kan een laag lucht worden toegepast. Voorwaarde is, vergeleken met een massieve laag, dat een dichter materiaal met een hogere stromingsweerstand wordt toegepast. Dit punt verklaart waarom verlaagde plafonds zo populair zijn. De laag lucht (de "afhanghoogte") mag worden meegerekend in de kwart-lambdaregel, zodat een grotere afhanghoogte de absorptie in de lagere frekwenties verbetert.

• De eigenlijke absorptielaag hoeft bij verlaagde plafonds niet meer dan 20-30 mm te zijn, maar er moet wel een hoge stromingsweerstand worden gekozen.

• Gordijnen vormen ook een laag absorptie met een achterliggende luchtlaag. Gordijnen moeten een hoge stromingsweerstand hebben, overeenkomend met een relatief hoog gewicht. Gordijnen doen het prima bij 1 kg/m², eventueel in geplooide toestand. Dat zijn speciale gordijnen; modale gordijnen voldoen niet aan deze eis.

• Naast de genoemde poreuze absorbers bestaan er ook resonantieabsorbers die zijn gebaseerd op een massa die trilt op een veer. De veer bestaat dan uit een laag lucht afgesloten door een harde wand, voor de massa bestaan twee typen:

• een vlakke plaat (hout, gips, metaal, maar ook een plastic folie),

• een gat in een plaat waarbij de prop lucht in het gat als massa dient; dat heet een "helmholtzresonator".

• Een helmholtzresonator is in de akoestische praktijk vaak een gaatjesplaat van gekoppelde helmholtzresonatoren. Er zijn ook ontwikkelingen in microporeuze plastic folies, maar die zijn hier niet behandeld.

• De gaatjesplaat vertoont een resonantiefrekwentie. Vrijwel altijd ligt die resonantiefrekwentie ónder de frekwentie die hoort bij de kwart-lambdaregel, maar een constructiedikte van minimaal 4 cm is meestal wel vereist. De gaatjesplaat kan dus absorptie vertonen bij lagere frekwenties dan een kale absorptieplaat. Daar staan helaas lagere absorptiecoëfficiënten tegenover bij hogere frekwenties.

• Voor geluidabsorptie is wrijving nodig van de trillende lucht. In een helmholtzresonator met een luchtspouw moet alle wrijving worden geleverd door de (heftige) trillingen in het gat. Dat is meestal onvoldoende om een redelijke absorptie te leveren, slechts in microporeuze gaatjes kan de wrijving voldoende zijn. De gebruikelijke gaatjesplaten werken daarom alleen als in de spouw absorberend materiaal is aangebracht.

• Eventueel kan een deel van de spouw bestaan uit een luchtlaag. De gedeeltelijk gevulde spouw kan haast net zo goed presteren als een volledig gevulde spouw indien de absorptielaag is aangedrukt tegen de achterzijde van de gaatjesplaat. Een gedeeltelijke vulling met een absorptielaag van 1 cm kan al voor een goed werkend systeem opleveren.

• Wanneer zich direct achter de gaatjesplaat een laag lucht bevindt plus een absorptielaag op de harde achterwand dient die absorptielaag ook zonder gaatjesplaat goed te absorberen. Een absorptielaag van 1 cm op de harde ondergrond is dan volstrekt onvoldoende. Pas bij 4 cm, of liever nog 8cm, begint het systeem te werken. Het is dus, akoestisch gezien, veel slimmer om de absorptielaag direct achter de gaatjesplaat aan te brengen.   

• Een akoestische vergelijking, bij alzijdige inval, tussen een gaatjesplaat en een kale absorptieplaat valt vaak uit in het voordeel van de kale plaat. Dat komt vooral omdat bij scheve inval een kale plaat verrassend goed kan presteren bij lage frekwenties, waardoor het laagfrekwente gedrag van een gaatjesplaat niet nodig is.

• Bij een hoge openingsgraad en/of dunne plaatdikte nadert het akoestisch gedrag van een gaatjesplaat sowieso tot de absorptie van de een kale plaat.

• Maar constructies met resonantieabsorbers kunnen in de praktijk veel handiger zijn dan kale platen absorptie. Hoe monteert men bijvoorbeeld een laag glaswol in een ruimte? Het is dan handig om die op te sluiten in constructies met gaatjes. Voorbeeld zijn de vele constructies met metalen gaatjesplaten.

 

Vrijwel alle conclusies zijn gebaseerd op uitkomsten van rekenmodellen. In hoeverre die modellen een betrouwbare voorspelling leveren is door ons niet onderzocht. Bij een keuze van een bepaald materiaal voor een praktische situatie dienen daarom altijd meetuitkomsten van dat materiaal voorhanden te zijn.

 

Deze webpagina is als pdf te downloaden, klik hier

 

 

---