B.22.2
De theorie van U₅₀

1.    Inleiding

In deze webpagina wordt ingegaan op C₅₀ en U₅₀. Allereerst komt de pure theorie, inclusief de formules, aan de orde, vervolgens worden enkele berekeningen gemaakt die niet in de bovenliggende pagina B.22 zijn behandeld. Het theoriehoofdstuk is een uitgebreide vertaling van een artikel [[1]]. Verondersteld wordt thans dat de lezer pagina B.22 heeft gelezen en op de hoogte is van de begrippen "vroeg geluid", "laat geluid" en "ruis". Die worden hier niet uitgelegd.

 

2.    Theorie

2.1    Het totale geluidniveau als functie van de afstand           

Het geluidniveau in een ruimte ten gevolge van een geluidbron wordt volgens de Sabine-Franklin-Jaeger-theorie [[2]] geschreven als:

(1)

Hierin geldt:

r	=	afstand tussen de geluidbron en de toehoorder
Lp(r)	=	geluiddrukniveau op afstand r van de bron
LW	=	geluidvermogenniveau van de bron
S	=	totaal geometrisch oppervlak van alle vlakken in de ruimte
α	=	absorptiecoëfficiënt gemiddeld over alle vlakken in de ruimte
Q	=	richtingscoëfficiënt van de bron

 

De eerste term tussen de haakjes representeert het directe geluid. Die hangt dus niet af van de absorptie in de ruimte, maar wel van de afstand en van de richtingskarakteristiek Q van de bron.

Zoals bij echte sprekers valt te constateren, is de richtingskarakteristiek van een mens vrij geprononceerd. Meestal wordt Q = 2.5 gekozen in de as van de mond. Naar de zijkanten van het hoofd geldt dan ongeveer Q = 1, terwijl naar achteren de waarde van Q veel kleiner dan 1 is [[3]].

 

Op één bepaalde afstand, de zgn. galmstraal, zijn de twee termen tussen de haakjes gelijk [[4]]:

(2)

De galmstraal stijgt als de absorptiecoëfficiënt toeneemt. Echter, zelfs in een goed ontworpen schoollokaal is r_rev niet groter dan 2 m. Dat betekent dus dat op de achterste rijen in een schoollokaal het directe geluid welhaast onhoorbaar is en dat de spraakverstaanbaarheid tot stand komt door een goede verhouding tussen het vroege en late geluid. Het vroege geluid moet dan voldoende boven de ruis uitsteken. Dezelfde bewering geldt voor een grote spreekzaal, maar daar is de verhouding ten opzichte van de ruis vaak ongunstiger. Overigens wordt de galmstraal in de volgende formules niet meer gebruikt.

 

De tweede term tussen haakjes in vergelijking (1) representeert het "diffuse geluidveld". Dit is uitsluitend afhankelijk van de absorberende eigenschappen van de ruimte en dus niet van de afstand. Dat is strijdig met de dagelijkse ervaring en er is daarom een aangepaste formule van Barron [[5]] waarin de afstand r wel in het diffuse veld doorwerkt:

(3)

met:

      RT  = nagalmtijd.

 

Een interessante overgang ontstaat indien voor de nagalmtijd de formule van Eyring wordt ingevuld:

(4)

waarin V het volume is van de ruimte.

De grootheid mfp representeert de gemiddelde vrije weglengte:

(5)

Combinatie van de formules (3) t/m (5) levert dan voor het geluidniveau L_p,brn volgens Barron:

(6)

 

Vergelijkingen (1) en (6) zijn gelijk indien r = mfp. Voor kleinere afstanden voorspelt Barrons formule een hogere waarde, op grotere afstanden laat Barrons formule een dalende tendens zien [[6]].

 

Met behulp van ray-tracing-modellen is de juistheid van Barrons model vaak genoeg aangetoond [[7]]. Maar het model houdt geen rekening met verstrooiing door meubilair e.d. Daarom is een aangepaste formule mogelijk waarin de afstandsterm simpelweg wordt opgehoogd door middel van een factor fb:

(7)

Indien fb = 1, vinden we formule (6). Metingen in kantoren en klaslokalen leveren waarden in de orde van fb = 2 [[8]].

 

2.2    Vroeg en laat geluid

Zoals uitgelegd in de bovenliggende webpagina, kan een verdeling worden gemaakt tussen vroeg geluid (arriverend binnen 50 ms) en laat geluid (na 50 ms). De theorieën van Sabine en Eyring voorspellen een rechte lijn voor het uitklinken van het geluidniveau. Voor de geluidenergie W komt dat dus neer op een exponentiële uitdemping als functie van de tijd t als respons op een puls op tijdstip t = 0:

(8)

Het getal 13.8 wordt uitgelegd in webpagina B.6.1, formule (34).

 

Integratie van de formule over de tijd tussen 0 en 50 ms en tussen 50 ms en oneindig levert respectievelijk de vroege en de late geluidenergie:

(9a)

en:

(9b)

waarin E₀ een constante is, die niet erg belangrijk is omdat die weer verdwijnt bij vergelijking van vroeg en laat geluid. Die waarden kunnen worden ingevoerd in formule 6.

In formule 6 gingen we uit van een bronvermogen L_W dat van iedere bron afkomstig kon zijn. We gaan er in het vervolg vanuit dat de bron een spreker is en zullen daarom de grootheid L_W,spraak gebruiken. We vinden dan:

(10a)

en:

(10b)

 

en nu is C₅₀ niets anders dan het verschil tussen deze twee grootheden:

(11)

We komen daarop terug.

 

2.3    De invloed van ruis in de formules

Om een ruisbron in het model in te voeren moet de positie van de ruisbron ten opzichte van de toehoorder bekend zijn. Dan kan formule (7) ook op die bron worden toegepast. Echter, in veel gevallen (sommige ventilatiesystemen, andere sprekers in de ruimte, enz.) mag de ruis gelijkmatig verdeeld worden verondersteld over de ruimte. Dat mag zeker als de afstand tussen waarnemer en ruisbron relatief groot is, omdat dan alleen het diffuse veld wordt meegerekend. We kunnen dan voor het ruisniveau schrijven:

(12)

In een eerder artikel is aangetoond dat het model ook mag worden toegepast in tamelijk droge situaties waar we de som van directe velden berekenen [[9]].

 

De volgende stap is om het late geluid bij de ruis op te tellen. Combinatie van formules (10b) en (12) levert dan:

(13)

en daartoe moet SN worden geschreven als:

(14)

Het verschil tussen de formules (10a) en (13) noemen we nu U₅₀:

(15)

 

Een waarschuwing is hier op zijn plaats. In de literatuur vindt men meestal een SN die het verschil geeft tussen de geluiddrukniveaus, terwijl we hier werken met het verschil in geluidvermogens. Onze aanpak is wat netter, want als we een ruisbron in een ruimte zetten meten we een bepaald geluidniveau en als daarna absorptie aan de ruimte wordt toegevoegd daalt het geluiddrukniveau maar blijft het vermogen gelijk. Er is daarom bij onze werkwijze veel beter te rekenen aan ruimten waarin de absorptiecoëfficiënt wordt gevarieerd.

 

3.    Enkele voorbeelden van berekening en presentatie van U₅₀

3.1    Een vuistregel op grond van de nagalmtijd

Door de simpele opzet van U₅₀ is er een eenduidig verband met de nagalmtijd indien ruis helemaal ontbreekt en de afstand tot de bron tamelijk groot is. Daarmee kan dus bijvoorbeeld een allereerste schatting worden gemaakt van U₅₀ halverwege een klaslokaal.

We vinden dan de volgende formule door in bovenstaande formule (10a) de eerste term met de afstand weg te laten en in formule (10b) de term voor de ruis. We vinden dan voor C₅₀:

(16)

hetgeen kan worden geschreven als:

(17a)

of als:

(17b)

 

Tabel 1 geeft een paar doorgerekende waarden. Een mooi ezelsbruggetje is dat C₅₀ = 0 dB indien RT gelijk is aan 1 s [[10]].

 

Tabel 1:  De waarde van de spraakverstaanbaarheidsmaat C₅₀ als functie van de nagalmtijd. De afstand tussen bron en ontvanger is dusdanig groot verondersteld dat de directe spraak geen invloed heeft.

RT   [s]	C50   [dB]
0.31	9
0.38	7
0.48	5
0.63	3
0.85	1
1.00	0
1.18	-1
1.70	-3

 

Relatief dicht bij de bron gaat het simpele verhaal niet meer op, want dan zorgt de bijdrage van het direct ervoor dat C₅₀ stijgt. Ook bij toevoeging van ruis wordt het beeld gecompliceerder, maar tabel 1 geeft wel degelijk een "minimumeis". Indien wordt gewerkt naar een waarde van C₅₀ gelijk aan 6 dB (hetgeen naar onze mening in een schoollokaal zou moeten worden nagestreefd), mag de nagalmtijd niet langer zijn dan 0.43 s. Vóór in het schoollokaal is de waarde van C₅₀ dan hoger door het directe geluid, maar achterin de klas wordt de spraakverstaanbaarheid alleen maar minder indien er ook nog ruis aanwezig is. Een nagalmtijd van 0.43 s is dus een "minimumvoorwaarde".

 

3.2    Numerieke oplossingen met zeven variabelen

De formules van het voorgaande hoofdstuk zijn net wat te ingewikkeld om er een simpel ontwerpschema uit te ontwikkelen [[11]]. Anderzijds lenen ze zich uitstekend voor een numerieke aanpak; dat kan zelfs al in Excel, al zullen we hier vooral Matlab-uitdraaien laten zien.

 

Uit de formules kan worden afgeleid dat er zeven grootheden een rol spelen:

r	De afstand tussen bron en ontvanger.
α	De gemiddelde absorptiecoëfficiënt.
V	Het volume van de ruimte.
S	Het geometrisch oppervlak van de ruimte. Dit hangt sterk samen met V, maar er is wel degelijk wat verschil tussen een kubus en een platgeslagen ruimte.
SN	De signaal-ruisverhouding.
Q	De richtingscoëfficiënt van de bron.
fb	De afname door de ruimte.

 

Deze laatste grootheid is wel degelijk van belang, met name in open kantoren [[12]]. Toch zal die hier niet worden gebruikt. De nagalmtijd RT en de gemiddelde vrije weglengte mfp staan ook in de formules, maar zij zijn niet onafhankelijk want ze kunnen uit de gegeven variabelen worden afgeleid.

 

Het grootste probleem is dus om een manier te vinden van presentatie. Het zal blijken dat dat niet altijd lukt. Meer dan twee onafhankelijke variabelen plus U₅₀ kunnen op papier niet worden weergegeven.

 

3.3    Een voorbeeld van U₅₀ als functie van de afstand

In figuur 1 wordt het resultaat weergegeven van een berekening in een ruimte van 8 × 6.25 × 3.2 m³, dus om en nabij een schoollokaal voor lager onderwijs. De linker figuur toont de uitdraai van de boven gegeven formules als functie van de afstand. De figuur lijkt sterk op de eerdere in B.22 getoonde figuur, maar nu is Barrons formule voor de afstand gebruikt (vergelijkingen 10a, 13 en 15), waardoor de curven voor het vroege geluid (hier niet afzonderlijk getoond) en het late geluid dalen met de afstand. De ruis in de ruimte wordt homogeen verondersteld en is dus geen functie van de afstand.

De rechter figuur geeft de daaruit resulterende waarde van U₅₀.

 

Figuur 1:  Numerieke uitwerking van bovenstaande formules voor het geluiddrukniveau (links) en de daaruit resulterende waarde van U₅₀. In de formules worden diverse grootheden genoemd (bijvoorbeeld L_p,brn of L_p,ruis), maar die worden langs de verticale as allemaal samengevoegd onder de naam SPL. De grootte van de ruimte bedraagt 8 × 6.25 × 3.2 m³.

 

3.4    Enkele presentatievormen met afstand en absorptie als variabelen

Een figuur is een tweedimensionale afbeelding waarin U₅₀ verticaal kan worden gegeven tegen slechts één van de zeven variabelen langs de horizontale as. Een tweede variabele kunnen we nog kwijt als parameter of via een 3D-representatie, maar het blijft lastig om meerdere variabelen tegelijk te tonen. De presentatievorm moet dus naar bevind van zaken worden gekozen.

Figuur 2 toont boven elkaar drie manieren die ongeveer hetzelfde laten zien. Echter, horizontaal is er wel degelijk een belangrijk verschil: de linker kolom toont de gevallen zonder ruis, rechts toont de gevallen met SN = 0 dB, zoals gedefinieerd in vergelijking (14). De ruimte heeft weer de afmetingen 8 × 6.25 × 3.2 m³_.

 

Figuur 2:  Drie vormen van presentatie van U₅₀ voor twee waarden van de signaal-ruisverhouding SN. Links is ruis afwezig; rechts geldt SN = 0 dB. De afmetingen van de ruimte bedragen 8 × 6.25 × 3.2 m³.

In figuur 5 staat een alternatief waarbij de kleurenbalk in de onderste twee figuren is vervangen door de namen van de kwaliteitsklassen in de eigenlijke figuur.

De aanduidingen "slecht" ... "uitstekend" worden toegelicht in webpagina B.22.

 

De middelste en de onderste rij tonen precies dezelfde figuur. Het enige verschil is de "hoek" waaronder naar de uitkomsten wordt gekeken ("view" in Matlabjargon). De bovenste figuren tonen doorsneden door de middelste voor vier waarden van de parameter "absorptie".

In de tweede en derde rij zijn de kwaliteitsklassen in kleur aangegeven. Eventueel kan dat ook in de bovenste figuur. De kwaliteitsaanduidingen "slecht" tot "uitstekend" zijn in B.22.1 afgeleid.

 

3.5    Absorptie en signaal-ruisverhouding; maar dan verdwijnt de afstand

Een ander manier van presenteren van dezelfde berekeningen staat in figuur 3. Die figuur geeft een handig overzicht van de invloed van galm en ruis, respectievelijk gerepresenteerd door de absorptiecoëfficiënt en de signaal-ruisverhouding SN. Maar om die twee grootheden in één figuur te krijgen moet de afstand als variabele worden opgeofferd door één bepaalde afstand te kiezen. In figuur 3 is die afstand gelijk gekozen aan de lengte van de ruimte, in dit geval 8 m. Over de vloerdiagonaal (die is hier 10.6 m) ontstaat dus ongeveer de ongunstigste situatie op de achterste rij van het schoollokaal.

Figuur 3:  De spraakverstaanbaarheid in een ruimte van 8 × 6.25 × 3.2 m³ voor vijf verschillende waarden van de signaal-ruisverhouding SN, waarbij SN = +20 model staat voor de ruisarme situatie. De curven zijn berekend op een afstand van 8 m van de bron.

 

Indien ruis vrijwel afwezig is, loopt de spraakverstaanbaarheid continu op (dus de curve voor SN = 20 dB). De spraakverstaanbaarheid wordt geheel bepaald door de galm in de ruimte. Een dode kamer, waar de absorptie tot één nadert, is de beste ruimte voor spraak.

Toevoeging van ruis verslechtert de spraakverstaanbaarheid. Bij SN = +5 en +10 dB zien we dat vooral de galm storend is indien de absorptiecoëfficiënt kleiner is dan 12%. Maar boven α » 25% is de ruis bepalend.

Men zou verwachten dat de ruis allesoverheersend is bij SN = -5 dB en dat de absorptie geen rol meer speelt. Toch blijkt dat wel het geval getuige het gedrag boven α » 25%, waar U₅₀ afneemt. Dat komt omdat ook het geluidniveau van de ruis wordt verlaagd bij toenemende absorptie. Het is immers het vermogen van de ruis dat constant wordt gehouden. Overigens rest bij een dergelijk hoog ruisniveau slechts de keuze tussen "slecht" en "volstrekt onverstaanbaar".

 

Figuur 3 geldt op de achterste rij van een schoollokaal. Op de eerste rij ziet het plaatje er anders uit, zie daartoe figuur 4. De spraakverstaanbaarheid op de voorste rij van een schoollokaal is "uitstekend" indien de absorptie ruim voldoende is (groter dan 25%) en de signaal-ruisverhouding meer dan 10 dB bedraagt. Ook op de eerste rij is de spraakverstaanbaarheid slechts "redelijk" indien SN = -5 dB. Die waarde geldt bijvoorbeeld (formule 14) als er naast de "gewenste" spreker nog 3 stoorsprekers met hetzelfde spraakvermogen in het lokaal aanwezig zijn [[13]].

Figuur 4:  De spraakverstaanbaarheid in de ruimte uit figuur 3, maar nu op een afstand van 1 m van de bron.

 

In figuur 4 vinden we U₅₀ langs de verticale as en SN als parameter voor de curven. Deze twee waarden worden verwisseld in figuur 5, waarin een voorbeeld staat van een ruimte ter grootte van een schoollokaal. De ruimte tussen de curven is weer opgevuld met kleuren die de kwaliteitsaanduidingen laat zien.

 

Figuur 5:  Een representatie van de uitkomsten met de spraakverstaanbaarheid als parameter en gekleurde vlakken voor de kwaliteit van de spraak. De afmetingen van de ruimte bedragen 8 × 6.25 × 3.2 m³.

In de linker figuur is de afstand tussen bron en toehoorder gelijk aan 8 m; rechts is dat 2 m.

 

3.6    Overdemping

In figuur 3 zien we nog een ander fenomeen: "overdemping". Dit betekent dat boven een bepaalde absorptiecoëfficiënt de spraakverstaanbaarheid begint af te nemen. Er is dan kennelijk te veel absorptiemateriaal in de ruimte aangebracht.

De oorzaak van het effect is als volgt. Het directe geluid achter in een schoollokaal is buitengewoon gering; al het nuttige geluid komt daar aan via de vroege reflecties tegen vloer plafond en wanden. Als die oppervlakken sterk absorberen, wordt het niveau van het vroege geluid te laag ten opzichte van de aanwezige ruis. Men kan de wanden dan maar beter wat laten reflecteren. Te zien valt ook dat de curven bij zeer lage ruisniveaus (SN > 20 dB) continu blijven stijgen; overdemping treedt dan niet op. Op 1 m afstand (figuur 4) is het effect te verwaarlozen. Dat komt omdat daar het directe geluid veel luider is dan op de achterste rij.

Overigens is overdemping een beetje een "luxeprobleem". Het aantal schoollokalen met te weinig absorptie overtreft het aantal lokalen met te veel absorptie vele malen.

 

4.    De curven geven slechts voorbeelden van representatie; toepassing komt later aan de orde

De voorgaande figuren geven weer hoe eventueel de spraakverstaanbaarheid in beeld kan worden gebracht, maar uiteraard is het veel belangrijker om ze ook toe te passen. Dat zal echter pas in de volgende webpagina's geschieden. Het zal dan bijvoorbeeld blijken dat met name de figuren 4 en 5 zich lenen om het architectonisch ontwerp van een schoollokaal te behandelen. Voor spreekzalen groter dan een schoollokaal zullen zelfs nog extra representatievormen worden gegeven. Dan wordt het zaalvolume en/of het vloeroppervlak langs de horizontale as gekozen en de nagalmtijd langs de verticale as. Op die manier wordt een optimale curve afgeleid.

 

Deze webpagina is als pdf te downloaden, klik hier

 

 

---