B.6.1
Nagalmtijdformules afgeleid, Sabine en Eyring

Geluidabsorptie en Wallace Clement Sabine (1868 - 1919)

Alle materialen absorberen geluid en een geluidgolf die wordt gereflecteerd aan een oppervlak verliest dus energie. In formulevorm wordt de verhouding tussen uitkomende en invallende intensiteit (I) geschreven als:

,

(1)

waarin R de energie-reflectiecoëfficiënt is [[1]].

In het onderstaande verhaal zal R regelmatig worden gebruikt, maar in de praktijk is de absorptiecoëfficiënt meer ingeburgerd [[2]]. Die wordt gedefinieerd als een dimensieloze grootheid:

.

(2)

 

Twee grootheden spelen nu een allesoverheersende rol bij de reflectie aan een oppervlak in een ruimte: de absorptiecoëfficiënt van het oppervlak plus het eigenlijke geometrische oppervlak S (in m²). Die twee mogen worden vermenigvuldigd om het "absorberend oppervlak" te berekenen.

.

(3)

De grootheid gaat in m² of in sabin.

 

Voor een totale ruimte vinden we nu het totaal absorberend oppervlak door sommatie van alle oppervlakken in de ruimte:

.

(4)

De oude Grieken en Romeinen experimenteerden al met reflectoren van diverse materialen, maar het was Sabine die in de laatste jaren van de negentiende eeuw uitgebreide experimenten verrichtte. Hij produceerde tonen met een orgelpijp en mat de uitklinktijd wanneer de orgelpijptoon werd uitgezet. Sabine werd daarom ingeschakeld bij het ontwerp van Boston Symphony Hall, maar daarvoor had hij al pogingen gedaan om de herrie in de kantine van zijn universiteit te beteugelen [[3]].

 

Sabines belangrijkste conclusie uit de metingen was dat de nagalmtijd T en het totaal absorberend oppervlak A omgekeerd evenredig zijn (we komen daarop terug). Verder bleek T ook evenredig met het volume V van de ruimte waarin werd gemeten. Tegenwoordig wordt Sabines formule daarom geschreven als:

.

(5)

In het onderstaande gedeelte zal worden afgeleid waar de factor 55.3 vandaan komt. De grootheid c vertegenwoordigt de geluidsnelheid in lucht. Die waarde hangt af van de temperatuur [[4]] en indien een waarde van 343 m/s wordt gekozen, die geldt bij 20º C, gaat de formule over in:

,

(6)

hetgeen dus gelijk is aan:

,

(7)

hetgeen in ons land meestal wordt verbasterd tot:

.

(8)

Overigens moet er nadrukkelijk op worden gewezen dat het getal 6 de dimensie m/s heeft. Indien in een ander stelsel wordt gewerkt, bijvoorbeeld in Amerikaanse voeten per seconde, verandert het getal 6 in 20.

 

Afleiding van de nagalmtijdformule

Wanneer een continue bron wordt uitgeschakeld horen we een uitklinkende galm en de snelheid waarmee dat uitklinken geschiedt is een maat voor de nagalmtijd. Die heeft in de akoestische wereld alle aandacht, maar er kan niet genoeg op worden gewezen dat galm ook een geluidniveau heeft. In de huidige webpagina's B6 en B6.1 gaat het over het uitklinkende galmeffect en zal worden beschreven hoe vanuit de theorie een nagalmtijd kan worden afgeleid. Het absolute "galmniveau" van een continue bron, dat in de akoestiek dus ten onrechte wordt verwaarloosd, komt in de latere webpagina's B.11 en volgende pagina's uitgebreid aan de orde.

Figuur 1:  In een hoek van twee vlakken zijn drie, en niet meer, spiegelbronnen mogelijk.

 

Het simpele model uit figuur 1 is al eerder getoond om het spiegelbronnenmodel toe te lichten. Het geeft een hoek van twee vlakken waarin een directe straal plus drie reflecties mogelijk zijn.

Echter, in een gesloten kubus van zes vlakken zijn oneindig veel spiegelbronnen mogelijk. In figuur 2 zijn er (in 2D) een paar honderd getekend die ontstaan na spiegeling in de rode kubusvormige ruimte in het centrum van de tekening. Met dit model kan de theorie worden opgebouwd door de bronnen tussen de bolschillen op een afstand r en r+δr eens nader te bekijken.

Figuur 2:  Rond een kubusvormige ruimte (in rood) waarvan de bron in het midden staat, kan een regelmatig patroon van spiegelbronnen worden getekend.

 

Berekend wordt de bijdrage aan het kwadraat van de geluiddruk p. Als op tijdstip t = 0 een energiestoot E₀ (een klap in de handen of een schot met een alarmpistool bijvoorbeeld) wordt uitgestuurd door de bron, komt op tijdstip t = t₀ een puls binnen bij de waarnemer. Daarbij geldt dat t = r/c met c de geluidsnelheid en r de afstand tussen de bron en de waarnemer.

In eerdere webpagina's (B.1.1 en B.1.3, formule 1) was een formule afgeleid voor p² bij een pulsvormig geluid. Die wordt hier gegeven als functie van de tijd t als:

.

(9)

 

De constanten ρ en c staan daarbij voor de soortelijke massa en de geluidsnelheid van lucht. De deltafunctie δ vertegenwoordigt dus de looptijd van de spiegelbron naar de mikrofoon; de grootheid heeft de dimensie s^-1.

 

Formule (9) geldt voor een puntbron in de vrije ruimte. Als er wanden, plafond en vloer aanwezig zijn moet ook de invloed van het energieverlies bij reflecties worden meegerekend door introductie van R:

,

(10)

waarin n het aantal reflecties weergeeft en R dus eigenlijk een gemiddelde waarde van de reflectiecoëfficiënten is indien niet alle oppervlakken een gelijke absorptie hebben [[5]].

 

De bedoeling is nu om de totale geluiddruk te vinden van alle puntbronnen in de bolschil tussen r en r+Dr, hetgeen kan worden omgezet, via c tot t en t+Dt. Dan geldt bij optelling van de puntbronnen [[6]]:

.

(11)

Als nu alle puntbronnen in de bolschil een gelijke waarde hebben van Rⁿ, kan er worden geschreven:

.

(12)

 

De integraal is oplosbaar; er komt niets anders uit dan het aantal puntbronnen binnen de bolschil. Dit aantal bronnen N in de bolschil hangt af van het volume van de bolschil, maar ook van de grootte van de rode kubus die we karakteriseren met het volume V in m³. Indien die groter wordt liggen de spiegelbronnen verder uit elkaar waardoor de dichtheid daalt [[7]].

.

(13)

Als nu alle bronnen in de bolschil worden gesommeerd, moeten formules (12) en (13) worden gecombineerd. We vinden dan:

,

(14)

hetgeen dus kan worden versimpeld tot :

.

(15)

 

De gemiddelde vrije weglengte mfp

De relatieve eenvoud van formule (15) is bedrieglijk. Iedere bron in de bolschil heeft nl. een eigen R en n en gedurende een eeuw zaalakoestiek is er nog niemand in geslaagd om de integraal uit formule (11) op te lossen. Er is wel een truc (dus ook reeds toegepast in formule 12) die in de praktijk goed blijkt te werken. Allereerst wordt voor R de gemiddelde reflectiecoëfficiënt genomen van alle vlakken in de kubus. Verder wordt het aantal reflecties voor alle bronnen in de bolschil gelijk gekozen via de "gemiddelde vrije weglengte" mfp [[8]]. Dat is de gemiddelde afstand tussen twee doorsnijdingen van een wand zoals getekend in figuur 3.

Figuur 3. De constructie van de gemiddelde afstand tussen twee wanddoorsnijdingen, indien de wanden van een kubus worden gespiegeld. Voor een kubus van 6 × 6 × 6 m³ kan worden becijferd dat mfp = 4 m. Die afstand is dus korter dan de 6 m van de kubus omdat een straal soms kleine schuine stukjes afsnijdt.

 

De gemiddelde vrije weglengte werd oorspronkelijk ontleend aan de statistiek; later leidde Kosten een algemene formule af voor niet-kubische rechthoekige ruimten [[9]]. Er geldt:

.

(16)

 

Formule (15) kan nu worden omgeschreven naar de tijd door de afstand te delen door de geluidsnelheid c. Echter, ook het aantal reflecties hangt af van de afstand en dus van de tijd. Er staat nu:

,

(17)

hetgeen kan worden geschreven als een e-macht:

.

(18)

We definiëren nu een nieuwe constante:

,

(19)

waarna formule (18) kan worden geschreven als:

.

(20)

 

Nogmaals de energieverdeling en het histogram

Figuur 4 geeft een herhaling van een "histogram" van een willekeurige rechthoekige ruimte zoals dat in webpagina B.1.3 was afgeleid vanuit het stralen- en spiegelbronnenmodel en zoals ze in de praktijk kunnen worden gemeten. In de linker figuur is de verticale as logaritmisch (en tamelijk arbitrair). Rechts is de verticale as lineair gekozen. De grootheid die uitstaat is p²×δt, waarbij δt de breedte geeft van het interval waarin de energie wordt gesommeerd. In het geval van de figuur is daarvoor 0.02 seconde gekozen. In het rechterdeel herkennen we min of meer een e-macht zoals in formule (20). De variaties rond de ideale e-macht worden veroorzaakt doordat de ruimte opzettelijk afwijkt van een kubus.

Figuur 4:  Het histogram (in blauw) zoals afgeleid in het voorgaande deel, links langs een logaritmische as, rechts langs een lineaire as. De breedte van het tijdinterval is 0.02 s. Dat is bewust breed gekozen om de tekening duidelijker te maken. In de praktijk zijn waarden van 1 tot 5 ms gebruikelijker.

De aanduiding langs de verticale as van de rechter figuur is correct. Het gaat telkens om is p²×Dt. De as van de linker figuur is daaruit ontstaan door deling door het kwadraat van p_ref en het berekenen van een 10log. De term geluidenergie is eigenlijk fout. De grootheid vertegenwoordigt geen energie maar is er wel mee evenredig.

 

Als voor het tijdinterval een kleinere waarde wordt gekozen, wordt ook de verticale waarde van de pulsen kleiner; er wordt per tijdstap minder energie samengeveegd. Maar het aantal pulsen stijgt en de som over alle pulsen in de rechter figuur, die de totale energie in het systeem geeft, blijft gelijk.

 

In de bovenstaande afleiding draait het om p₂. Die waarde hangt niet af van de breedte van het interval, want er wordt een gemiddelde berekend in iedere tijdstap. Om nu een totale waarde van de energie te kunnen berekenen moet worden gekeken naar de integraal, dus het oppervlak onder de curve. Een voorstelling als figuur 5 is dan noodzakelijk. Als het tijdinterval kleiner wordt, stijgt het aantal rechthoekjes, maar het blauwe oppervlak blijft min of meer gelijk omdat de waarden van p₂ niet wezenlijk veranderen. Bij de uitkomsten van praktijkmetingen kan een keuze worden gemaakt tussen figuur 4 en figuur 5. Later zal blijken dat figuur 4-links het meest wordt gebruikt, maar noodzakelijk is dat niet.

Figuur 5:  Een berekening van een curve zoals in gestileerde vorm wordt berekend in formule (20). De integraal wordt gegeven door het oppervlak.

 

Inklinken en uitklinken, de nagalmtijd

Het bovenstaande deel gaat over de responsie van p² op een pulsvormig geluid. Nu komt de responsie aan de beurt op een continu signaal dat eerst aan- en later wordt uitgezet. Het uitzetten van een continue bron om de nagalm te meten is meer dan een eeuw de methode geweest om de nagalmtijd te meten en de methode wordt nog steeds welhaast dagelijks gebruikt.

 

Stel dat op tijdstip t = 0 een puntbron wordt aangezet. De uitgezonden energie loopt dan continu op met de tijd en voor p² van één bepaalde puntbron kunnen we, naar analogie van formule (9), schrijven:

,

(21)

of na differentiatie:

,

(22)

waarin W₀ het akoestisch vermogen van de bron is (in watt) en D(t₀) een sprongfunctie op tijdstip t = t₀ = r/c [[10]]. De spiegelbron springt dus ook aan, net als de bron zelf, maar een tijdje later.

 

Het aantal puntbronnen in de bolschil is weer te verwerken als bij de formules (12) tot (15), maar nu komt er uiteindelijk uit:

,

(23)

en formule (20) gaat dan tenslotte over in:

.

(24)

 

Als de bron wordt uitgezet kunnen we de negatieve sprong van 1 naar 0 op t = t₀ schrijven als 1 - D(t₀). Uitwerking levert dan voor de laatste formule:

.

(25)

De oplossing van beide formules (24) en (25) is weer goed te doen. Respectievelijk wordt gevonden:

,

(26)

en:

.

(27)

De functies zijn getekend in figuur 6.

Figuur 6:  De responsie van p² in een ruimte als een continue bron wordt aan- en uitgezet.

 

In het voorgaande webdeel was de schroedercurve geintroduceerd die een achterwaartse integraal berekent. Die kan hier worden geschreven als:

.

(28)

Dat lijkt sterk op formule (27). Er geldt bij e-machten immers:

.

(29)

 

In de meetpraktijk vinden we echter nooit mooie e-machten. Dan verdient Schroeders methode de voorkeur.

 

De nagalmtijd

Ons gehoor werkt logaritmisch en de curven uit figuur 6 worden door ons gehoor heel anders ervaren. Het inklinken kunnen we met onze oren vrijwel niet waarnemen [[11]], het uitklinken ervaren we als nagalm. Als echter figuur 6 langs een logaritmische as wordt weergegeven ontstaat het beeld dat is getekend in figuur 7.

Figuur 7:  De nagalmtijd is in dit geval zeer lang: 8 s.

 

Het beeld uit deze figuur strookt veel meer met wat wij horen. Daarom ook is de berekening van het geluiddrukniveau ons ultieme doel:

.

(30)

In het theoretisch geval zoals hier behandeld is de uitklinkcurve van het geluiddrukniveau lineair. Formule (27) is nu namelijk om te schrijven tot:

,

(31)

hetgeen te splitsen is als:

.

(32)

De eerste term is een constante die het horizontale deel in figuur 7 bepaalt en die in de webpagina's B.11 e.v. aan de orde komt. De tweede term leidt tot een lineair dalende curve en bepaalt dus de nagalmtijd.

Sabine definieerde de nagalmtijd T uit de helling. Indien, volgens zijn definitie, het geluidniveau 60 dB was gedaald was T bereikt. Dat betekent dus:

,

(33)

waaruit volgt:

.

(34)

 

Indien formules (16), (19) en (25) worden gecombineerd vinden we:

.

(35)

Als we vervolgens R vervangen door 1 - α, en aannemen dat c = 343 m/s (bij 20 graden celsius), vinden we:

.

(36)

Dat is verbazingwekkend: de theorie leidt tot de nagalmtijd van Eyring en niet tot Sabines formule.

 

Waarom wordt Sabines formule dan nog zoveel gebruikt?

Eyrings formule is gepubliceerd in 1930; Sabines formule is dus drie decennia ouder [[12]] en wordt geschreven als:

.

(37)

 

In Sabines eerste artikel staat al een afleiding die lijkt op de hier gegeven afleiding. Sabine ging echter uit van de omgekeerde evenredigheid van T en A, die hij had afgeleid uit een veelheid aan metingen maar zijn evenredigheid is dus niet helemaal correct.

Als α tot nul nadert, geven beide formules dezelfde uitkomst. Echter, als α tot 1 nadert levert Eyrings formule de waarde nul terwijl Sabines formule faalt. In de dagelijkse praktijk zijn gemiddelde absorptiecoëfficiënten boven 40% echter uitzonderlijk en het is dus verklaarbaar dat Sabine nooit afwijkingen vond van zijn gemeten evenredigheid.

 

Het lijkt dus voor de hand te liggen om in de hedendaagse akoestiek Eyrings formule te gebruiken en Sabines formule af te danken. In de praktijk echter wordt nog dagelijks de voorkeur gegeven aan Sabines formule. Daar zijn een paar redenen voor.

Op twee plaatsen in de afleiding is een benadering ingevoerd:

• Er is een gemiddelde reflectiecoëfficiënt gebruikt.

• De gemiddelde vrije weglengte is een benadering. Zelfs voor een kubus gaat het model eigenlijk al mis.

 

Een ruimte met een relatief laag plafond en de meeste absorptie op het plafond voldoet dus niet aan de voorwaarden. Er treedt in dergelijke ruimten altijd een verlenging op van de nagalmtijd. Eyrings formule geeft altijd een lagere nagalmtijd dan Sabines formule en Eyrings nagalmtijd wordt in de praktijk zelden of nooit gehaald. De wat langere nagalmtijd van Sabine blijkt wat beter met meetwaarden overeen te stemmen.

Maar er is nog een argument om Sabines formule te handhaven: "iedereen gebruikt die formule". Dat is geen sterk wetenschappelijk argument, maar geldt in de praktijk wel degelijk. De absorptie van materialen wordt altijd gemeten in een nagalmkamer met behulp van Sabines formule. Dat moet zelfs van de normbladen. Zolang iedereen zich daaraan houdt is daar weinig op tegen; soms is een enigszins foute uniforme aanduiding in de architectuur handiger dan tweeslachtige uitkomsten [[13]]. De "fout" wordt dan weer ten dele goedgemaakt op het moment dat de desbetreffende materialen daadwerkelijk op het plafond of de wanden worden geplakt en Sabines formule wordt gebruikt bij nameting van de ruimte.

 

Overigens zijn er in de praktijk meer nagalmformules die juist die verlenging meerekenen. De bekendste is die van Fitzroy, maar helaas is die heel erg fout [[14]]. Beter, maar veel ingewikkelder is de norm NEN 12354-6. We zullen daar in andere delen van de site op terug komen.

 

Herberekening van de nagalmtijd inclusief luchtabsorptie

In de bovenstaande paragrafen is alleen rekening gehouden met energieverliezen door de absorptie van de oppervlakken in een ruimte. In webpagina's B.5 en B.5.1 is al uitgelegd dat er ook verliezen optreden door onderlinge wrijving van de moleculen in lucht. We zullen dat (relatief kleine) effect thans toevoegen.

We keren terug naar formule (31), maar schrijven die in een iets andere vorm:

,

(38a)

waarin: 

.

(38b)

Hierin geldt:

t       = looptijd

r      = soortelijke massa van lucht

c      = geluidsnelheid in lucht

E₀    = de energie van de geluidpuls

V     = volume van de ruimte

S     = totale oppervlak van wanden, plafond, etc.

R     = gemiddelde reflectiecoëfficiënt van de wanden

 

De index "eyr" slaat op de afleiding van Eyring, die (theoretisch gezien) superieur bleek boven die van Sabine. Toch gaan we hier over op de Sabine-waarde, vooral omdat die veel meer wordt gebruikt bij metingen. We schrijven dan: 

,

(39)

hetgeen geoorloofd is bij relatief lage waarden van de absorptiecoëfficiënt α. Dan vinden we dus in plaats van formule (38b): 

.

(40)

Nu kan aan formule (38a) de luchtabsorptie worden toegevoegd, die werd afgeleid in B.5.1, met behulp van een tweede e-macht:

,

(41)

waarin m de gemeten waarde van de luchtabsorptie vertegenwoordigt en de afstand x uit B.5.1 wordt omgeschreven tot ct om over te gaan van de afstand naar de tijd. Volgens de wiskundige regels mogen beide exponenten worden opgeteld, zodat een nieuwe gecombineerde dempingsterm β_tot kan worden geschreven als: 

.

(42)

 

Deze grootheid vinden we nu ook terug in de nagalmtijd door formule (34) te herschrijven als:

,

(43)

hetgeen, na invulling van vergelijking (42), overgaat in: 

,

(44a)

waarin de factor 0.16 weer geldt bij kamertemperatuur als c = 343 m/s.

 

Indien we een waarde hanteren in dB/m, in B.5.1 aangeduid met γ, vinden we een coëfficiënt die 4.34 maal zo groot is:

.

(44b)

 

Formule (44a) wordt het meest gebruikt in de literatuur, maar formule (44b) is net wat handiger omdat de gebruikelijke rekenmodellen het antwoord geven in dB/m, hetgeen dus rechtstreeks in de formule kan worden ingevuld.

 

Aangepaste absorptiecoëfficiënt

Uitgaande van formule (42) kan ook worden gewerkt met een soort aangepaste formule van de absorptiecoëfficiënt: 

.

(45)

Dit is eigenlijk de grootheid die in het overgrote deel van deze site wordt toegepast; we bekommeren ons vooral om het totale effect als we eisen stellen aan een minimale waarde van de absorptiecoëfficiënt. In een groot aantal ruimten (een klaslokaal of een restaurant bijvoorbeeld) doet de tweede term ook nauwelijks ter zake [[15]].

Echter, een onderscheid tussen de twee effecten moet, vooral in grotere zalen, wel degelijk worden gemaakt indien een architect specifieke materialen wil bestellen. In de opgaven van de fabrikant worden nl. de "echte" absorptiecoëfficiënten α vermeld. Dat moet ook wel, want pas als de afmetingen van de ruimte (V en S) bekend zijn kan de totale waarde α_tot worden becijferd. Die totale waarde α_tot wordt vervolgens altijd (iets) groter dan α. Dat kan een prettig effect zijn (in een groot restaurant of een sportzaal bijvoorbeeld), maar soms kan het effect ongewild zijn in een concertzaal.

 

De conventies in deze site

In deze site staan nogal wat berekeningen waarbij "de" absorptiecoëfficiënt wordt gebruikt. Daarbij wordt steeds α_tot bedoeld. Als dan na een berekening bijvoorbeeld plafondplaten moeten worden besteld bij een fabrikant, moet de waarde van α opgegeven. Die is altijd lager, maar in de dagelijkse praktijk zijn de verschillen marginaal. Slechts bij grote ruimten (een sporthal of een concertzaal) bestaan significante verschillen en dan ook nog vanaf 4000 Hz. Als we uitgaan van de gebruikelijke spraakfrekwenties van 500 en 2000 Hz en de gebruikelijke ruimten (een schoolklas, een restaurant of een sportzaal van gemiddelde afmetingen) kunnen we het verschil tussen beide waarden verwaarlozen.

 

Wordt vervolgd, de nagalmcurve in de praktijk

In de bovenstaande hoofdstukken is het theoretisch fundament gelegd voor de nagalmcurve en de nagalmtijd; dat is gedaan om die theorie in de praktijk te kunnen gebruiken. In de volgende webpagina komt die praktijk aan de orde bij de meting van absorptiecoëfficiënten in een nagalmkamer, maar de nagalmtijd wordt ook in zeer veel gevallen gebruikt bij de normstelling om in de ontwerpfase de "akoestische kwaliteit" voor gebruiksruimten vast te leggen en om, na oplevering van de ruimte, na te meten of de norm daadwerkelijk wordt gehaald.

In de webpagina's B.11 t/m B.14 plus onderliggende subpagina's zal nader op de nagalmcurve worden ingegaan vooral omdat de curve zich bij metingen in de praktijk niet altijd even netjes houdt aan de theorie en omdat de curve behoorlijk kan verschillen per mikrofoonpunt in een ruimte.

Om uit te leggen wat de problemen zijn zal een paar maal worden uitgegaan van een herhaling van bovenstaande figuur 7. Bij metingen in een ruimte wordt meestal alleen het aflopende deel boven 5.5 s gebruikt, maar de hoogte van het horizontale deel tussen 2.5 en 5.5 is naar onze mening even belangrijk. Dat bepaalt namelijk de herrie in een sportzaal of een restaurant. Vooral in de webpagina's B.12 en B.16 komt de sterkte van het geluid aan de orde.

 

Deze webpagina is als pdf te downloaden, klik hier

 

 

---