1. Inleiding, wat voorafging

In de voorgaande webpagina "B.13.1 Nagalmcurven in 1D en 2D" is gerekend aan rechthoekige ruimten. Dat is gedaan in tweedimensionale ruimten, want die maken het mogelijk om lengte en breedte met elkaar te vergelijken, hetgeen in 3D te ingewikkeld is omdat dan drie variabelen tegen elkaar moeten worden afgewogen. Er werd gestart met een vierkant met homogene absorptieverdeling, dus met de absorptiecoëfficiënt voor alle lijnen even groot. Het blijkt dat zo'n homogeen vierkant zich uitstekend houdt aan de theorie van Sabine, Franklin en Jaeger ("SFJ-theorie") die wordt beschreven in vele webpagina’s van deze site te beginnen met "B.10.1 Geluiddrukniveau". In de SFJ-theorie worden de nagalmtijd RT en het geluiddrukniveau (vastgelegd als L_p en/of G (strength)) geïntroduceerd [[1]].

Zodra het vierkant wordt vervormd tot een homogene rechthoek (of een kubus tot een balk) ontstaan afwijkingen t.o.v. de SFJ-theorie in de nagalmcurve. Twee effecten zijn dan te zien:

In de SFJ-theorie resulteert de rechte helling waarmee het geluid uitklinkt in de nagalmtijd RT. Maar de curve blijkt altijd krom, of in jargon: "de curve zakt door". In een vierkant is dat effect nauwelijks waarneembaar en dus verwaarloosbaar, maar in een rechthoek wordt het effect steeds sterker naarmate de rechthoek langwerpiger wordt.
De absolute waarde van het geluiddrukniveau, uitgedrukt in de grootheid L_p of in G, legt de verticale positie van de nagalmcurve vast. Deze grootheden veranderen in een rechthoek t.o.v. de waarde in een vierkant, zodat de curve omhoog of omlaag schuift.

In de SFJ-theorie zijn deze twee variabelen onlosmakelijk met elkaar verbonden, maar het valt te verwachten dat die koppeling vervalt in een rechthoekige ruimte.

In de voorgaande webpagina B.13.1 is ook een mogelijkheid gegeven om het doorzakken van de curve te verminderen, dus om de curve iets recht te trekken. Daarvoor is het nodig om de absorptie inhomogeen te verdelen over de lijnen (in 2D) of over de vlakken van de ruimte (in 3D). Er bleek een invloed op zowel de nagalmtijd als het geluiddrukniveau. Daarbij werd gebruik gemaakt van een simpel numeriek spiegelbronnenmodel. De voorbeelden die werden gegeven zijn alle numeriek berekend met modellen die de gemiddelde architect niet tot zijn of haar beschikking heeft en juist daar ligt de kracht van het SFJ-model dat zich beweegt op het niveau van een excelbestand. Zo’;n berekening is al uiteengezet in webpagina "B.4 Absorptie in tabelvorm".

Doel van de huidige webpagina is dus om de numerieke uitkomsten te toetsen aan de SFJ-theorie, of met andere woorden: wanneer kan de SFJ-theorie al of niet worden toegepast? De huidige webpagina blijft beperkt tot de meer theoretische uitleg, voor de praktijk zullen meer voorbeelden worden gegeven in de bovenliggende webpagina "nw Nagalmcurve in een rechthoek".

Er is een tweede mogelijkheid om de nagalmcurve te manipuleren: met verstrooiing. Dat komt in de huidige theoretische webpagina niet aan de orde. In de bovenliggende webpagina B.13 wordt aan het verschijnsel wel aandacht besteed.

2. De nagalmcurve volgens het spiegelbronnenmodel, een herhaling uit voorgaande webpagina’;s

In figuur 1 staat een voorbeeld van een concave ("doorgezakte") nagalmcurve gesimuleerd voor een ruimte van 48 × 12 × 3 m³. Dat is een enigszins ongebruikelijk ruimte maar die vorm is gekozen om het effect duidelijk in beeld te brengen.

Figuur 1: Een voorbeeld van een concave nagalmcurve zoals die wordt gevonden bij een ruimte van 48 × 12 × 3 m³ met een absorptiecoëfficiënt van 20% (R = 0.8) voor alle vlakken (links). De bron heeft een vermogen van 70 dB (re 1 pW).

In de rechter figuur is uit de groene curve een drietal nagalmtijden afgeleid, afhankelijk van drie verschillende intervallen.

De rode lijn geldt tussen -5 en -25 dB t.o.v. het maximale geluiddrukniveau. De blauwe lijn geldt tussen -5 en -35 dB; de groene lijn representeert EDT en is dus berekend tussen -1 en -11 dB. De bijbehorende nagalmtijden zijn respectievelijk 1.90, 2.48 en 0.90 s. De nagalmtijd berekend volgens de SFJ-theorie is 0.62 s.

De linker figuur toont alleen de eigenlijke nagalmcurve, aan de rechterkant zijn uit de groene nagalmcurve ook drie nagalmtijden afgeleid gefit aan drie verschillende intervallen. En hier zien we dus het probleem van doorzakkende curven: doordat de curve zo sterk concaaf is, hangt de helling van de regressielijn af van het gekozen interval; bij de puur lineaire afval uit de SFJ-theorie zou dat niet het geval zijn en zijn de drie uitkomsten aan elkaar gelijk.

In de figuur staan drie "officiële" nagalmcurven. De groene regressielijn is gefit aan het interval tissen -1 en -11 dB ten opzichte van het maximale geluidniveau. Die nagalmtijd wordt de "early decay time" EDT genoemd en bedraagt 0.90 s. Zo zijn er ook de rode en de blauwe regressielijnen, RT_5_25 (gefit tussen -5 en -25 dB) en RT_5_35 (tussen -5 en -35 dB). Zij leiden tot nagalmtijden van respectievelijk 1.90 en 2.48 s. De drie verschillende waarden betekenen dus dat "de" nagalmtijd eigenlijk niet bestaat.

De nagalmtijd die volgens de SFJ-methode in de situatie van figuur 1 wordt gevonden is gelijk aan slechts 0.62 s; geen van de drie nagalmtijden komt in de buurt van deze waarde. En dus ontmoeten we een probleem voor de ontwerper van een ruimte: de SFJ-methode leidt tot ernstige overschatting van de effectiviteit van het aangebrachte absorptiemateriaal. Dat komt vooral door de rechthoekige vorm, in een vierkant liggen alle tijden veel dichter bij elkaar. Een groot probleem is dat in sommige ruimten, een klaslokaal of een sportzaal bijvoorbeeld, de "akoestische kwaliteit" wordt vastgelegd in eisen aan een maximale nagalmtijd. Als een architect dus een berekening heeft uitgevoerd volgens de SFJ-methode ligt een teleurstelling op de loer bij de oplevering. De ruimte lijkt slechter te presteren dan gewenst in de norm.

3. Een toetsing aan de SFJ-theorie

3.1 De rechthoek

In de voorgaande webpagina B.13.1 is in figuur 8 een voorbeeld gegeven van een tweedimensionale ruimte van 20 × 5 m² waarin de absorptie van de wanden was aangepast om de nagalmcurve te manipuleren. Genoemde figuur 8 toont twee varianten, de eyring-variant en de sabine-variant. Besloten is om in het vervolg de sabine-variant te hanteren omdat daarmee veel makkelijker te rekenen valt. Het bleek in die webpagina goed mogelijk om de nagalmcurve vrijwel recht te trekken als de absorptiecoëfficiënt van de korte zijden B op 37.5% werd gezet en op 9.4% voor de lange zijden L. Dat is dus een factor 4 die is gekoppeld aan de afmetingen L en B en gelden dus specifiek voor 20 × 5 m².

In de figuren 2 en 3 komt het voorbeeld uit de voorgaande webpagina B.13.1 terug. Er wordt nu steeds alleen de curve gegeven voor de totale rechthoek (de zwarte lijn uit B.13.1); deze curven worden thans in rood en groen getekend. De oorspronkelijke 1D-curven van het geluid in één richting worden hier weggelaten, maar er wordt wel steeds een (blauwe) rechte lijn toegevoegd die is berekend met de SFJ-theorie. De gebruikte formules zijn de sabine-varianten in twee dimensies (2D). RT regelt de helling van de curve en wordt berekend met:

(1)

Hierin is O het oppervlak en M_tot de totale omtrek. Zie nogmaals webpagina B.13.1 voor meer informatie. De grootheid α_{2D, gem} geeft de gemiddelde absorptiecoëfficiënt, ook indien de absorptie niet homogeen verdeeld is over de omtrek.

De verticale ligging van de blauwe curve wordt bepaald door G (strength), maar dat is iets ingewikkelder. Voor de blauwe lijn wordt gebruik gemaakt van G₀ op het tijdstip t = 0. Dan luidt de formule:

(2a)

Dat betekent eigenlijk dat de afstand tussen de bron en de mikrofoon gelijk aan 0 is. In een SFJ-berekening kan dat probleemloos, maar bij metingen en spiegelbronberekeningen niet. Dan wordt de formule van G uitgebreid met een extra term tot:

(2b)

Formule (2b) gaat over in (2a) als t₀ = 0.

In webpagina's B.10.1 en B.10.5 is uitgelegd dat in de SFJ-theorie wordt gewerkt met een soort gemiddelde waarde van t₀, die gelijk is aan het mean free path gedeeld door de geluidsnelheid. Na wat omzettingen staat er dan:

(2c)

Formules (2a) t/m (2c) gaan alleen over het galmveld, het directe geluid wordt weggelaten. In de komende voorbeelden is G_2D in de orde van 7 tot 18 dB. Het direct zonder galm heeft op 1 m een waarde G = 10 dB. Omdat met een lijnbron wordt gerekend is die waarde 3 dB meer op 50 cm en verdubbeling van de afstand tot 2 m brengt de waarde op 7 dB. De galm kan het direct dus in sommige gevallen aardig in de weg zitten als het draait om de spraakverstaanbaarheid. In de huidige webpagina draait het om het galmveld en wordt met de invloed van het directe geluid vrijwel geen rekening gehouden.

Figuur 2: De nagalmcurve in een 2D vierkante ruimte van 10 × 10 m². De absorptiecoëfficiënt van alle vier de lijnen is 15%. De rode curve geeft een berekening met het spiegelbronnenmodel, de blauwe curve is berekend met de theorie van Sabine, Franklin en Jaeger. De blauwe curve is per definitie een rechte lijn berekend uit de waarden van G en RT. De rode curve wijkt iets af van een rechte lijn.
In de rechter figuur is ingezoomd op het eerste deel van de curve.

De blauwe lijn in figuur 2 wordt berekend uit de waarden van G₀ en RT zoals gedefinieerd in de formules (1) en (2a). Het is per definitie een rechte. De rode curve is numeriek berekend voor een vierkant met zijden van 10 m lang. De absorptiecoëfficiënten zijn gelijk aan 15%. Het is al een paar maal eerder gemeld dat de resulterende nagalmcurve geen rechte lijn is, maar de afwijkingen zijn zeer gering.

In figuur 2-rechts wordt ingezoomd op het eerste deel van de curve waar t kleiner is dan 0.5 s (500 ms). G₀ uit de SFJ-theorie blijkt gelijk aan 15.2 dB (formule 2a). De waarde van G uit de numerieke berekening is wat lager: 14.4 dB. Dat komt omdat de dichtstbijzijnde spiegelbron op 10 m afstand ligt. Er is dus een horizontaal gedeelte te zien als t < 29 ms (overeenkomend met 10 m gedeeld door de geluidsnelheid), zodat formule (2b) moet worden gebruikt. Dan blijken de blauwe lijn en de rode lijn op t = 29 ms perfect samen te vallen.

Helaas gaat die perfectie niet meer op in een ruimte die rechthoekig is. Was dat maar waar, want dan bestond er dus een gereedschap om G te voorspellen en dus om de gemiddelde absorptiecoëfficiënt af te leiden uit G in plaats van RT. Anderzijds zullen we zien dat de verschillen in G veel kleiner zijn dan die in RT.

Ons gestelde doel is om een ruimte door te rekenen met behulp van de SFJ-theorie omdat een berekening met een excel-sheet goed te doen is voor een architect die is verstoken van ingewikkelder modellen. De vraag is dus vooral in hoeverre de SFJ-theorie ons in de steek laat. In het voorbeeld van figuur 2 blijkt de SFJ-theorie dus geschikt om de akoestische eigenschappen van de 2D-ruimte te voorspellen. In figuur 3 zien we helaas voorbeelden waar het misgaat.

Figuur 3: Twee langwerpige ruimten met een oppervlak van 100 m². Links is de ruimte 20 × 5 m², rechts is dat 35 × 2.9 m². De groene curven hebben alle lijnen 15% absorptie. Bij de rode curven is de totale absorptie in tweeën gedeeld en in gelijke mate toegekend aan de lange en de korte zijde.

In de figuren 3 worden twee rechthoeken doorgerekend van 20 × 5 m² (links) en 35 × 2.9 m² (rechts). Zij hebben dus beide een oppervlak van 100 m² en zijn dus rechtstreeks te vergelijken met het vierkant van figuur 2. De omtrekken zijn verschillend, respectievelijk 40 m¹ voor het vierkant van figuur 2, 50 m¹ voor figuur 3-links en 75.8 m¹ voor 3-rechts. We zien de volgende uitkomsten:

Figuur 3-rechts toont een rechthoek van 35 × 2.9 m². Het was uiteraard logischer geweest om een rechthoek van 40 × 2.5 m² te kiezen, maar dan komt α_L (dus de absorptie van de korte zijde) boven 1.0 uit en dat kan natuurlijk niet. Bij de huidige afmetingen is α_L = 0.99, dus dat past nog net.
De vergelijking tussen de rode curven uit het spiegelbronnenmodel en de blauwe curven uit de theorie toont redelijke afwijkingen. Die zijn kleiner indien voor de theoretische curven de eyring-waarden worden gekozen. In de voorgaande webpagina B.13.1 (rond figuur 7) is uitgelegd waarom in het spiegelbronnenmodel met de sabine-variant is gerekend voor de verdeling van de absorptie over de beide zijden. Dan kan ook voor de theoretische curven beter de sabine-variant worden gekozen. Maar de berekeningen uit de numerieke modellen leiden nog wel degelijk tot eyring-uitkomsten.
De gemiddelde absorptiecoëfficiënt is in alle figuren 2 en 3 gelijk gekozen aan 15%.
Door die keuze stijgt de totale absorberende lengte. In het vierkant is die gelijk aan 6.0 m¹, in figuur 3 stijgt die naar 7.5 m¹ voor de linker figuur en 11.4 m¹ voor de rechter.

Daardoor dalen de drie nagalmtijden volgens de SFJ-theorie met de vorm: RT(sfj) is gelijk aan 2.15, 1.72 en 1.13 s.
Om dezelfde reden daalt G(sfj) van 14.5 dB voor het vierkant naar 13.5 en 11.7 dB voor de rechthoeken.

Bij de groene curven is de absorberende lengte gelijk voor de lange en de korte zijde. De afwijking tussen RT(sfj) en de numerieke waarden is in het vierkant gering, maar in de beide rechthoeken van figuur 3 is het verschil met de SFJ-theorie enorm. De nagalmtijd loopt sterk op: 3.72 versus 1.72 s voor de figuur 3-links en 6.18 versus 1.13 voor figuur 3-rechts. De dalende waarden van de SFJ-theorie gaan dus gepaard met stijgende waarden in het spiegelbronnenmodel.
Voor de waarden van G zien we een overeenkomstige tendens, maar de verschillen zijn lang niet zo groot. In figuur 3-rechts is G uit het spiegelbronnenmodel in de het homogene geval 2.4 dB hoger dan de SFJ-waarde. Omgerekend betekent dat een factor 1.7 terwijl de factor bij RT gelijk is aan 6.18/1.13 = 5.5. De rode inhomogene waarden zijn dicht in de buurt van de SFJ-waarden.

In figuur 4 zijn de berekeningen van de figuren 2 en 3 herhaald, maar nu met een gemiddelde absorptiecoëfficiënt van 30%. Links staat het vierkant, dus zoals in figuur 2, rechts staat een vergelijking met figuur 3-links. Het heeft geen zin om figuur 3-rechts te herhalen want al bij een lengte van 24 m wordt α_L groter dan 1.

Figuur 4: Herhaling van de figuren 2 voor het vierkant van 10 × 10 m² (links). Rechts geeft een herhaling van figuur 3-links, dus voor een langwerpige ruimte van 20 × 5 m². In vergelijking met de figuren 2 en 3 is de absorptiecoëfficiënt opgevoerd van 15% naar 30%.

De volgende resultaten zijn vermeldenswaard:

De totale absorptielengte, A(sfj), is verdubbeld, dus de SFJ-waarden van RT worden gehalveerd. Voor G zien we een afid met 3 dB.
In de numerieke uitkomsten is de afid van RT nog iets groter; er geldt een factor 0.46.
De afidn van de numerieke G ten opzichte van figuren 2 en 3 zijn 4 dB in plaats van 3 dB voor de SFJ-theorie. Dat is voor een groot deel weer toe te schrijven aan het verschil tussen eyring, voor de numeriek berekening, en sabine voor de blauwe theoretische curve.

3.2 G en RT als functie van een vormfactor

In deze paragraaf worden G en RT weergegeven als functie van de vorm van een "vormfactor". Die is gedefinieerd als de verhouding tussen de zijden van een vierkant en de lange zijden van een rechthoek. Gestart wordt met een vierkant, dus de vormfactor is gelijk aan 1. Dan wordt de lengte vermenigvuldigd met 1.4 en de breedte wordt gedeeld door 1.4, zodat het oppervlak gelijk blijft. Dat gaat zo door tot een vormfactor 4. Een rechthoek van 20 × 5 m² heeft dus bijvoorbeeld een vormfactor 2. De figuren 5 en 6 geven de uitkomsten voor G en RT. De waarden uit de figuren 2, 3 en 4 keren terug in de figuren, aangevuld met extra berekeningen.

In de figuren 5 en 6 zijn respectievelijk G en RT uitgezet. De rode lijnen geven de berekeningen met de SFJ-theorie (de sabine-variant). In de linker figuren is het homogene geval uitgezet, in de rechter figuren staan de berekeningen met telkens de helft van de absorptie op iedere zijde. Althans voor zover dat mogelijk is, want door deze verdeling kan de absorptiecoëfficiënt boven 1 uitkomen. In de rechter figuren is dat te zien aan de blauwe curven waarvan punten ontbreken bij een toenemende combinatie van de absorptiecoëfficiënt en de vormfactor.

Figuur 5: De waarden van G als functie van de "vormfactor" die de verhouding geeft tussen de lengte L van een rechthoek en de ribbe M van een kubus. Het oppervlak van kubus en rechthoeken blijft steeds gelijk. In de linker figuur is de absorptie homogeen voor alle zijden; rechts is de hoeveelheid absorptie op de lange en de korte zijde gelijk. De rode lijnen geven de SFJ-theorie, de blauwe lijnen volgen uit het spiegelbronnenmodel.
Omdat de plaats van het absorptiemateriaal geen rol speelt in de SFJ-theorie zijn de rode lijnen links en rechts gelijk.

Figuur 6: Herhaling van figuur 5 maar nu voor de nagalmtijdRT.

Alle berekeningen zijn uitgevoerd bij een oppervlak van 100 m². Daarbij worden soms merkwaardige waarden van L en B gebruikt. Maar het gaat in de figuren steeds om geometrisch verhoudingen, zodat er gewerkt kan worden met schaalregels: de figuren blijven gelden bij andere waarden van het oppervlak, maar dan moet wel de verticale schaal worden aangepast voor G en voor RT.

We zien de volgende effecten in de figuren:

Het vermoeden bestond reeds, maar hier zien we weer de voortreffelijke voorspelling van de SFJ-theorie bij een vierkant, dus waar de vormfactor gelijk aan 1 is.
Het geluiddrukniveau G volgens de SFJ-theorie (rode curven) daalt in alle gevallen met de vormfactor. De verklaring is simpel: als de vormfactor toeneemt stijgt de omtrek en dus wordt, bij gelijkblijvende gemiddelde absorptiecoëfficiënt en gelijkblijvend oppervlak, de totale absorptie groter. De rode curven zijn overigens gelijk voor de linker en de rechter figuur.
Precies hetzelfde effect zien we voor de nagalmtijd.
In figuur 5-links, G met homogene absorptie, blijft G vrijwel gelijk met toenemende vormfactor, ondanks een toenemende absorptie. De reflecties in de korte richting worden belangrijker, de geluidenergie in de lengterichting neemt af. Kennelijk houden die twee effecten elkaar min of meer in evenwicht.
Verreweg de belangrijkste grootheid om G te beïnvloeden is de absorptiecoëfficiënt; de vorm doet vrijwel niet ter zake. Een verdubbeling van α levert een afid van G van bijna 4 dB. Dat komt omdat α tweemaal voorkomt in formule (2c).
In figuur 5-rechts, met een gelijke verdeling van de absorptie over L en B, is het belang van beide richtingen min of meer gelijk waardoor het beeld op dat van een vierkant begint te lijken en de rode en blauwe curve vrijwel gelijk zijn.
Als de vormfactor stijgt, neemt ook de absorberende lengte toe. Daarom daalt G in figuur 5-rechts.
De nagalmtijd is in het homogene geval (figuur 6-links) sterk afhankelijk van de vormfactor. Er is een toeid van de nagalmtijd met een factor 2 à 3 te zien.
Echter, bij een gelijke verdeling van de absorberende lengte over L en B wordt de nagalmtijd ineens gelijk aan de SFJ-waarden.
Overigens bestaat "de" nagalmtijd wel min of meer in een kubus maar niet in een rechthoekige ruimte. De keuze van het interval speelt een belangrijke rol. Dat is hier niet getoond, maar indien bijvoorbeeld het interval tussen -5 en -25 wordt gekozen verschuiven de blauwe lijnen. De rode lijnen zijn uiteraard ongevoelig voor het interval.
De waarden van G zijn berekend volgens de complete SFJ-theorie, dus inclusief de factor (1-α) in de teller, waarmee een bron-waarnemer-afstand wordt gesuggereerd gelijk aan het mean free path (mfp). In de voorgaande webpagina B.13.1 wordt bij de formules uitgelegd wat de verschillen zijn tussen de diverse G-berekeningen zoals voor G₀.

3.3 Een "equivalente kubus"?

Voor de kubusvormige ruimten (dus een vormfactor 1 in de figuren 5 en 6) komen de SFJ-theorie en het spiegelbronnenmodel uitstekend overeen, maar de rode curven dalen omdat het oppervlak toeneemt bij steeds grotere afwijkingen van een kubus.

In het ideale geval zou er een methode voorhanden zijn die de blauwe curven ook in een excelsheet weet te voorspellen. Helaas bestaat dat niet. Maar een waarschuwing is op zijn plaats tegen de daling van de rode curven. Het kan nl. een overschatting betekenen van de absorptie in een ruimte. Als de ontwerper via een excelsheet een hoeveelheid absorptie heeft berekend wordt een punt bepaald op de rode curve. Numerieke modellen voorspellen punten op de blauwe curven en die zijn dus "slechter" in de linker figuren, maar "even goed" in de rechter. Nu komt een ruimte met homogene absorptie (links) zelden voor maar een gelijke verdeling (rechts) ook niet. De praktijk zal tussen deze twee gevallen inliggen. Het is niet uitputtend nagegaan maar onze hypothese is dat we links en rechts twee uitersten zien en dat de waarheid "ergens" in het midden ligt. Er is na vele decennia nog steeds geen sluitende rekenmethode om redelijk nauwkeurig te schatten waar de tussenwaarde precies uitkomt; zie daartoe ook webpagina B.13.

Voor de zekerheid heeft het daarom zin om een veiligheidsmarge in te bouwen. Dat kan met behulp van een correctiefactor die alle SFJ-waarden terugrekent naar die van een kubus met hetzelfde volume. Hier wordt volstaan met de formule voor de correctiefactor cf die is gebaseerd op een herberekening van de gemiddelde vrije weglengtes in een kubus (index kb) en in een rechthoek (index rh) en luidt in 3D:

(3a)

die weer een 2D-equivalent heeft:

(3b)

Deze factor cf is gelijk aan 1 voor een kubus en groter dan 1 voor een rechthoek. De berekende hoeveelheid absorptie die is berekend met de SFJ-theorie moet met dit getal worden vermenigvuldigd, waarna de rode dalende curven in de figuren 5 en 6 overgaan in horizontale lijnen. Dat betekent dus dat van de vier grafieken in de figuren 5 en 6 alleen die van 5-links goed wordt voorspeld. De voorspelling van de blauwe lijnen blijft dus zeer discutabel, maar er wordt in ieder geval een al te optimistische uitkomst van het geluiddrukniveau voorkomen. Bij een vormfactor gelijk aan 4 komt er cf_2D = 2.12 uit. Dat is dus na logaritmisering gelijk aan 3.3 dB, dus vrij aardig kloppend voor G. Maar voor de nagalmtijd is een correctiefactor nodig in de orde van 5 [[2]].

Dezelfde "veiligheidsmarge" komt men in de praktijk nogal eens tegen in de vorm van een herberekende waarde van de nagalmtijd. De formule van Sabine wordt in drie dimensies geschreven als:

(4)

waarin met S het geometrisch oppervlak wordt bedoeld. De 3D-correctiefactor uit formule (3a) rekende S terug naar het totale oppervlak van een kubus met hetzelfde volume. Dan staat er dus voor de gecorrigeerde nagalmtijd RT_corr:

(5)

Deze gecorrigeerde nagalmtijd staat dus voor een horizontale lijn in figuur 6-links en is dus lang niet voldoende om de blauwe lijnen te voorspellen. Maar een al te optimistische kijk op het probleem volgens de rode lijnen wordt ermee wel voorkomen.

Maar nogmaals: zowel de linker als de rechter grafieken van figuur 5 en 6 zijn extreem. In de bovenliggende webpagina B.13 wordt een aantal situaties doorgerekend die dichter bij de praktijk staan en die allemaal tussen de uitersten van figuur 5 en 6 liggen.

4. Samenvatting en Conclusies

In de theorie van Sabine, Franklin en Jaeger (SFJ-theorie) worden het geluiddrukniveau en de nagalmtijd voorspeld voor een ruimte met een gegeven bouwkundig volume en het totale absorberend oppervlak.

In de praktijk is dit model te simpel. Voor een kubusvormige ruimte klopt het mooi, maar zodra van de kubusvorm wordt afgeweken kan de nagalmtijd behoorlijk stijgen; het geluiddrukniveau heeft wat minder last van de vormvariaties. En dus kan het geluidniveau nog redelijk nauwkeurig door de SFJ-theorie worden voorspeld maar de nagalmtijd niet.

In veel ruimten is het geluiddrukniveau de belangrijkste parameter. Gebruikers van fabriekshallen, kantoren, restaurants, sportaccommodaties, enz, enz, zijn meer geïnteresseerd in een aanvaardbaar geluiddrukniveau dan in een korte nagalm. Voor spraak geldt een combinatie van niveau en nagalm, maar zelfs daar is het niveau vaak belangrijker, met id als zich in de ruimte meerdere sprekers bevinden.

Probleem is echter dat de bepaling van de nagalmtijd in de praktijk ook wordt gebruikt om impliciet het geluiddrukniveau te voorspellen. Bij een lange nagalmtijd wordt dus automatisch verondersteld dat het geluiddrukniveau hoog is, hetgeen lang niet altijd het geval is. De akoestische kwaliteit is dan beter dan de nagalmtijd doet vermoeden.

In de webpagina’;s B.13.1 en de huidige B.13.2 zijn enkele mogelijkheden gegeven om ook in niet-kubische ruimten de nagalmtijd in de hand te houden. Met id een uitgekiende verdeling van de absorptie over de wanden en verstrooiing van de wanden kunnen dat effect bereiken. In beide webpagina’;s draaide het vooral om de theorie. Dat leidt soms tot een verdeling van de geluidabsorberende materialen over de ruimte die in de praktijk hoogst ongebruikelijk is. In de bovenliggende webpagina B.12 zal daarom wat meer worden uitgegaan van de bouwkundige praktijk, maar daarbij worden automatisch concessies gedaan.

De ophoging van de numeriek berekende nagalmtijd ten opzichte van de sabine-waarde kan wel een factor 3 bedragen. Maar de sabine-waarde geeft altijd de laagste waarde en de numerieke berekening altijd het maximum; de reële waarde ligt daar tussenin. Probleem is dat vaak onbekend is wáár de curve dan precies ligt. Nog nooit is er nl. een sluitende formule voor de berekening van de nagalmtijd gepubliceerd.

Als een sportzaal of een zwembad moet worden ontworpen komen ook de webpagina’;s B.15, D.10 en D.10.1 in aanmerking. Dat lijkt overdadige aandacht voor sportzalen, maar een sportzaal kan als een leerzame worst-case worden beschouwd omdat die zo leeg is, waardoor verstrooiende elementen zoals in een klaslokaal of een restaurant ontbreken. En we zullen zien in B.14 dat juist verstrooiing redding kan brengen om de meest extreme nagalmcurven te bestrijden.

[1] In deze site wordt nogal inconsequent omgesprongen met het symbool voor de nagalmtijd. Volgens de normen moet de nagalmtijd worden geschreven als T. Maar dat botst zo hier en daar, bijvoorbeeld met de tijd t en T. Daarom wordt meestal RT (een afkorting van reverberation time) geschreven voor de nagalmtijd. In sommige pagina’;s wordt wel degelijk T gebruikt; in de huidige webpagina gaat het (hopelijk) consequent over RT.

[2] Uit de formules kan men afleiden dat RT in één dimensie evenredig is met de lengte L. Dan zou er dus een factor 4 uitkomen. Maar dat is voorlopig speculatie, hetgeen hier niet verder wordt uitgewerkt.