1. Inleiding

In de voorgaande webpagina B.3.2 is een rekenmodel geïntroduceerd waarmee constructies kunnen worden doorgerekend die bestaan uit "lagen" materiaal (bijvoorbeeld beton, lucht, speciale akoestische materialen) met een bepaalde dikte. Het geluid plant zich voort langs de x-as; langs de twee andere coördinaten worden de lagen oneindig verondersteld, waarmee dus tegelijkertijd een zwak punt van het model wordt genoemd. Als die voorwaarde strikt zou worden gehanteerd, kunnen akoestische constructies bestaande uit absorberende gaatjesplaten niet worden doorgerekend. In de volgende twee webpagina’s B.3.4 en B.3.5 zal blijken dat dat wel meevalt, maar in de huidige webpagina voldoen alle lagen aan de eisen van het model.

2. Korte inhoud van het voorafgaande

2.1 Reflectie door impedantiesprongen

Figuur 1: Een gelaagde constructie van n lagen dat kan worden ingevoerd in het rekenmodel. Het doel van het model is dan om de impedantie te berekenen op de overgang van M1 naar M2.

Het model uit de voorgaande webpagina is uiteengezet aan de hand van constructies zoals getekend in figuur 1. We zien daarin een ruimte waarin zich een geluidbron bevindt en in die ruimte wordt ook de geluiddruk gemeten. Aan de rechterzijde in de figuur bevindt zich een constructie die uit meerdere lagen kan bestaan. In de voorgaande webpagina kon zich ook aan de linkerzijde een constructie bevinden met een andere samenstelling, maar in de huidige webpagina valt de nadruk op absorptiecoëfficiënten van constructies en dan is het eenzijdige beeld van figuur 1 voldoende.

In iedere laag lopen golven heen en weer, gesymboliseerd door de grijze pijlen. Zij ontstaan door reflecties aan de grensvlakken. Echter, aan de uiterste rechterzijde bevindt zich een laag die zich naar rechts oneindig uitstrekt. Dan ontbreekt aan de rechterzijde een grensvlak dat kan reflecteren, zodat zich alleen golven voortplanten naar rechts (de rode pijl). De linker laag kan meerdere media representeren; in de onderwaterakoestiek wordt bijvoorbeeld vaak met water gerekend. Maar wij, liefhebbers van de ruimteakoestiek, zullen verder veronderstellen dat laag M1 bestaat uit lucht. De rechter laag bestaat soms ook uit lucht, maar voor absorptieberekeningen is een half-oneindige laag beton of een ander hard materiaal gebruikelijker.

De essentie van het model is dat een "impedantie" Z_r wordt berekend van de totale constructie aan de rechterzijde. Alle akoestische eigenschappen van de lagen plus hun dikten zitten in Z_r gevangen. De laag lucht aan de linkerzijde wordt gerepresenteerd door de "karakteristieke impedantie" van lucht. Dat is een materiaaleigenschap; iedere laag aan de rechterzijde heeft ook een karakteristieke impedantie, maar die zit verstopt in Z_r.

Voor de karakteristieke impedantie W₁ van lucht kan worden berekend:

(1)

waarin ρ staat voor de soortelijke massa van lucht en c de geluidsnelheid representeert. De soortelijke massa van lucht is gelijk aan 1.21 kg/m³ bij kamertemperatuur en c = 342 m/s, zodat W₁ = 414. De eenheid is kg/m²s, hetgeen in de akoestische praktijk meestal "rayl" wordt genoemd.

W₁ is hier een reëel getal. Dat betekent dat in het materiaal de golven van de geluiddruk en de deeltjessnelheid dezelfde fase hebben. Echter, Z_r wordt in de akoestische rekenpartijen meestal als een complex getal weergegeven. De materialen in de constructie kunnen een reële karakteristieke impedantie hebben. Voor staal, glas, beton, e.d. is dat het geval. Maar zelfs dan wordt Z_r vrijwel altijd complex door interferentie van heen en weer lopende golven. Akoestische absorptiematerialen hebben altijd een complexe karakteristieke impedantie en een complex golfgetal. Dat is juist het doel van dergelijke materialen; dan zetten ze akoestisch vermogen om in warmte.

De voorgaande webpagina B.3.2. leert ons dat een golf, uitgezonden door de geluidbron in figuur 1, wordt gereflecteerd aan het grensvlak tussen M1 en M2. De drukreflectiecoëfficiënt R_p is dan gelijk aan:

(2)

Uit formule (2) is af te leiden dat het quotiënt van Z_r en W₁ (de "impedantiesprong") de belangrijkste grootheid is. De formule wordt in de praktijk daarom vaak geschreven als:

(3)

hetgeen vaak verder verbasterd wordt door Z_r direct te geven ten opzichte van W₁. Dat heet de "genormaliseerde" impedantie.

2.2 De absorptiecoëfficiënt

De energie-reflectiecoëfficiënt R_en kan worden berekend uit de drukreflectiecoëfficiënt via:

(4)

waarbij dus wordt overgegaan naar een reële grootheid door de modulus van de complexe grootheid R_p te nemen. Voor de absorptiecoëfficiënt α geldt de complementaire waarde:

(5)

Helaas zijn de variabelen uit deze formules reële getallen berekend uit een complex getal (R_p) met een reëel en een complex deel. Door het toepassen van de absolute waarde in formule (4) wordt dus informatie weggegooid waarmee de ontwerper zijn/haar voordeel had kunnen doen. De ontwerper kijkt daarom veel eerder naar R_p dan naar α. Maar ondanks het pleidooi voor de weergave van complexe getallen zullen ze in de huidige webpagina niet worden getoond. Ze zijn echter wel degelijk onder de motorkap aanwezig.

2.3 De stromingsweerstand als leidraad voor geluidabsorptie

Een absorptiemateriaal bestaat meestal uit een materiaal met poriën. Die poriën zijn dusdanig klein van afmetingen dat trillende luchtmoleculen wrijving ondervinden waarbij trillingsenergie wordt omgezet in warmte, hetgeen zich uit als geluidabsorptie. Om een materiaal te karakteriseren zijn oorspronkelijk modellen ontwikkeld waarmee de karakteristieke impedantie wordt berekend aan de hand van vier eigenschappen. Het waren Delany en Bazley die, in 1970, lieten zien dat, van die vier, de stromingsweerstand, in combinatie met de frekwentie, de invloedrijkste was voor de karakteristieke impedantie. Dat is een grootheid die voor een specifiek materiaal ook vrij eenvoudig te meten is. Nog eenvoudiger meetbaar blijkt de "bulk modulus", dat is de soortelijke massa van absorptiemateriaal, maar de nauwkeurigheid van de berekening neemt dan wel af als die grootheid wordt gebruikt in plaats van de stromingsweerstand. In webpagina B.3.1 werden de details gegeven van de methode van Delany en Bazley; in de huidige webpagina B.3.3 wordt de stromingsweerstand steeds als gegeven ingevoerd in de modellen.

3. Voorbeelden van de geluidabsorptie bij loodrechte inval

3.1 De berekening van de absorptie bij één grenslaag

Het doel van de huidige webpagina is om inzicht te geven in de absorptiecoëfficiënten van een aantal veelgebruikte praktijkconstructies, maar gestart wordt met een fictieve constructie van een halfoneindige laag, dus zoals geschetst in figuur 2. Berekend wordt de reflectiecoëfficiënt aan het grensvlak.

Figuur 2: De reflectie aan een grensvlak van twee half-oneindige lagen.

De linkerzijde in figuur 2 bestaat weer uit lucht, maar aan de rechterzijde veronderstellen we nu een half-oneindige laag glas- of steenwol. Dat materiaal wordt allereerst gekarakteriseerd door de stromingsweerstand σ, en daaruit wordt met de formules van Delany en Bazley de karakteristieke impedantie W₂ van medium M2 uitgerekend. Omdat medium M2 half-oneindig wordt verondersteld, kunnen er in M2 alleen golven voorkomen die naar rechts lopen. Daardoor is de grootheid Z_r gelijk aan W₂, maar dat geldt dus alleen in dit speciale geval.

In figuur 3 wordt horizontaal de frekwentie uitgezet en verticaal de absorptiecoëfficiënt. Als parameter wordt in figuur 3-links de stromingsweerstand ("sigma") gebruikt in rayl/m. Maar uiteraard gaan de uitkomsten meer leven indien de soortelijke massa wordt gebruikt (figuur 3-rechts). Eigenlijk zouden dan volgens webpagina B.3.1 twee grafieken nodig zijn, maar we beperken ons tot de categorie "rockwool/fibreglass". Dan zien we ook dat een stromingsweerstand van 1 000 000 wel kan worden ingevoerd in het rekenmodel, maar dat die waarde niet reëel is. Want wat is het bouwkundig nut van een absorberend materiaal dat een bulkmassa heeft van ca. 730 kg/m³.

Figuur 3: De absorptiecoëfficiënt van een half-oneindige laag absorptiemateriaal. Links is de stromingsweerstand als parameter gebruikt, rechts de "bulk modulus" van glas- of steenwol.

Wat is nu de conclusie uit figuur 3? Allereerst blijkt dat zeer dichte materialen, vanaf ruwweg σ = 100 000 rayl/m, niet erg geschikt zijn als absorberend materiaal. Dat komt goed uit, want dat zijn ook de relatief zware (en dus in de bouw minder bruikbare) materialen met een bulkmassa boven 150 kg/m³. Maar betekent dat nu ook dat de meest open materialen van 10 of 20 kg/m³ het meest geschikt zijn? In de grafiek geven die immers de hoogste absorptiecoëfficiënt bij de lage frekwenties. Helaas is dat meestal niet het geval en de reden daarvoor komt in de volgende paragraaf aan de orde.

3.2 Een absorberende laag voor een harde wand

De voorgaande paragraaf toonde de absorptie van een "half-oneindige" laag absorptiemateriaal. In de praktijk echter zit achter het absorberende materiaal altijd wel ergens een niet absorberende laag, zoals beton, glas, baksteen, hout, enz. Die situatie is weergegeven in figuur 4.

Figuur 4: Een constructie waarbij een absorberende laag is bevestigd op een akoestisch harde ondergrond.

In de situatie van figuur 4 wordt aangenomen dat de deeltjessnelheid op de overgang van absorptielaag naar beton gelijk is aan 0. Dat is een benadering die prima voldoet. Het betekent o.a. dat de reflectiecoëfficiënt aan de grenslaag van absorptie en beton gelijk is aan 1. Nu wordt ook duidelijk waarom zeer open absorptiematerialen niet zonder meer geschikt zijn. Een geluidgolf valt in op de overgang van lucht naar absorptiemateriaal, beweegt zich te gemakkelijk door het materiaal, reflecteert tegen het beton en treedt weer gedeeltelijk naar buiten in de luchtlaag.

Figuur 5 geeft twee figuren voor twee laagdikten van het absorptiemateriaal. Links is dat 4 cm, rechts 16 cm. De parameter is de stromingsweerstand.

Figuur 5: De absorptiecoëfficiënten voor een laag absorptiemateriaal op een harde achtergrond. De laagdikte is links gelijk aan 4 cm, rechts staat 16 cm uit. De stromingsweerstand is als parameter gebruikt.

Het is nu interessant om de figuren 5 te vergelijken met figuur 3 waar een oneindig dikke laag was doorgerekend. We zien dat de gele lijn voor 200 000 rayl/m in alle drie de figuren (3-links, 5-links en 5-rechts) gelijk is. Dat betekent dus dat de reflectie aan de betonnen wand hier geen rol speelt. Een invallende golf wordt in het materiaal dusdanig verzwakt dat de overgang naar het beton als het ware niet wordt bereikt. Bij een laagdikte van 16 cm geldt dat ook bij 100 000 en 50 000 rayl/m, maar bij 4 cm laagdikte zien we dan wel degelijk invloed van de achterwand. De lichtblauwe en paarse lijn vertonen meer absorptie dan bij de laag van 16 cm. Dat komt doordat de golf die door de betonnen laag wordt teruggestuurd de faserelatie aan de voorkant van de constructie gunstig beïnvloedt.

Indien we in de linker figuur de stromingsweerstand verlagen tot 20 000 rayl/m, ontstaat de blauwe curve; bij nog lagere waarden van sigma (de groene en de rode lijn) speelt de betonnen wand een dusdanig grote rol dat de absorptiecoëfficiënt weer afneemt. Juist hier verschilt figuur 5-links van figuur 3-links. In de praktijk zal het afhangen van het gewenste absorptiegedrag of moet worden gemikt op de paarse curve, met een wat beter laagfrekwent gedrag of op de blauwe curve, die het bij hogere frekwenties beter doet.

Indien we de opgedane kennis toetsen aan figuur 5-rechts zien we eigenlijk een schaaleffect. De dikte is vier maal zo groot en de bijbehorende sigma kan het beste vier maal zo klein worden gekozen. Dat leidt tot een interessante conclusie. De sigma is een materiaaleigenschap, gegeven in rayl/m. Maar als we deze grootheid vermenigvuldigen met de dikte ontstaat dus een constante waarde in rayl. We vinden dus zowel links als rechts een optimale waarde in de orde van 800 tot 1600 rayl [[1]].

3.3 Een kwart-lambda-laag

In figuur 5 is te constateren dat er een optimale sigma-laagdikte-combinatie te vinden is. Boven een bepaalde grensfrekwentie nadert de absorptiecoëfficiënt dan 100%. Die grensfrekwentie is te berekenen met behulp van een vuistegel die uitgaat van een vaste verhouding tussen de laagdikte en de golflengte van de invallende golf.

De ondergrens aan de frekwentie noemen we f_onder waarbij een golflengte λ_boven hoort. Het product van de twee is gelijk aan de geluidsnelheid c, hier gelijk aan 342 m/s:

(6)

De vuistregel luidt nu dat de laagdikte van het absorptiemateriaal groter moet zijn dan λ_boven/4. Als de laagdikte bijvoorbeeld 5 cm bedraagt, is de golflengte λ (maximaal) gelijk aan 20 cm en de frekwentie gelijk aan 1700 Hz. Boven die frekwentie kán de absorberende laag het prima doen, bij afnemende frekwentie daalt de absorptiecoëfficiënt áltijd naar nul. We zullen laten zien dat die vuistregel klopt, maar alleen bij de juiste keuze van de stromingsweerstand. In figuur 5 hebben we laten zien dat er een mismatch tussen de laagdikte en de stromingsweerstand kan optreden. De ontwerptruc is om aan de overgang van lucht naar absorptie in figuur 4 precies de impedantie van lucht te verkrijgen [[2]].

In figuur 6 is de absorptiecoëfficiënt gegeven voor een optimale waarde van het product van stromingsweerstand en laagdikte voor twee gevallen: 800 en 1600 rayl. In de figuur zijn de waarden van f_onder gegeven voor iedere laagdikte (met een stip voor iedere curve). De lagere waarde van 800 rayl (linker figuur) doet het iets beter rond f_onder, de hogere waarde (1600 rayl, rechter figuur) doet de curven iets naar links schuiven waardoor het laagfrekwente gedrag wat beter is. Het ligt aan de praktijktoepassing welke van de twee gevallen meer in aanmerking komt, maar veel verschil maakt het niet. Materialen buiten de range 800 tot 1600 rayl (dus zowel eronder als erboven) tonen ongunstiger absorptiecurven. Die worden hier niet getoond.

Figuur 6: De absorptiecurven indien het product van stromingsweerstand en laagdikte gelijk wordt gehouden. Links is de stromingsweerstand σ gelijk aan 800/dikte, rechts geldt σ = 1600/dikte. De stip staat op de frekwentie waar de laagdikte gelijk is aan een kwart van de golflengte.

De ingeschreven aanduidingen van de dikte staan links en rechts op dezelfde plaats om de lichte verschuiving tussen de grafieken te laten zien: in de rechter figuur zijn de curven iets verschoven naar lagere frekwenties, maar de absorptie is weer minder rond de stippen.

3.4 Een achterliggende luchtlaag

In de praktijk wordt vaak een luchtlaag toegepast tussen het absorptiemateriaal en de harde laag; zie figuur 7. De luchtlaag wordt in de praktijk vooral toegepast bij verlaagde plafonds en heet daar de afhanghoogte, maar ook bij absorberende gordijnen wordt een luchtlaag toegepast. Die ontstaat bij gordijnen automatisch, maar is onmisbaar voor geluidabsorptie. De afmetingen van de luchtlaag bepalen de frekwentiecurve en zijn dus niet vrij te kiezen.

Figuur 7: Aan de constructie uit figuur 4 wordt een laag lucht toegevoegd tussen het absorptiemateriaal en de betonnen wand.

Als voorbeeld wordt weer een absorptielaag doorgerekend van 4 cm, maar nu bevindt zich een laag lucht van 12 cm tussen het beton en de absorberende laag. Het resultaat is getekend in figuur 8-boven. Om een vergelijking te kunnen maken wordt op de onderste rij figuur 5 herhaald.

Figuur 8: De invloed van een luchtlaag op de absorptiecurven, bovenste figuur. De onderste twee figuren zijn een herhaling van figuur 5 waarin de luchtlaag ontbreekt. Ze dienen uitsluitend ter vergelijking met de bovenste figuur.

Uit de drie figuren trekken we de volgende conclusies:

Als in een constructie zonder luchtlaag de laagdikte een factor 4 stijgt, van 4 naar 16 cm, moet de stromingsweerstand een factor 4 dalen.
Die conclusie was overigens eerder getrokken uit figuur 5 en wordt hier herhaald in de onderste twee figuren voor de volledigheid.
De onderste twee figuren voldoen aan de kwart-lambda-regel uit de voorgaande paragraaf. De bijbehorende frekwenties zijn 2126 en 531 Hz voor respectievelijk 4 en 16 cm.
Een constructie van 4 cm absorptie en 12 cm lucht voldoet aan de kwart-lambda-regel voor 16 cm. In het gebied tussen 100 en 400 Hz lijkt de gelaagde constructie vrij goed op een laag van 16 cm absorptiemateriaal.
Maar rond 1000 Hz doet de 4-12-constructie het veel slechter dan de massieve 16cm-constructie. Er ontstaan staande golven in de luchtspouw die tot sterke slingers leiden.
Een hoge stromingsweerstand (200 000 rayl/m) geeft in alle drie de gevallen dezelfde curve. De eerste paar centimeters zijn zo sterk van invloed dat het er weinig toe doet wat erachter zit. Maar een dergelijke hoge waarde is af te raden voor praktijkgebruik. Het absorbeert niet goed en bovendien wordt het materiaal te zwaar.
Een sigma van 5 000 rayl/m is ideaal voor een massieve laag van 16 cm, maar die waarde is te laag voor de 4-12-constructie. Dan kan beter een glas/steenwol soort met 10 000 rayl/m worden gekozen. Hoe dunner de absorptielaag, des te hoger moet de stromingsweerstand zijn.

3.5 Variërende absorptiedikte bij constante totale dikte

In het volgende voorbeeld varieert de dikte van de absorptielaag. Door gelijktijdige aanpassing van de dikte van de luchtlaag wordt de totale constructiedikte constant gehouden. Verondersteld wordt dat de totale dikte gelijk is aan 40 mm, dus figuur 8-links-onder (die gelijk was aan figuur 5-links), waar de totale laag is opgevuld met absorptiemateriaal, dient als vergelijking. De berekeningen staan in figuur 9.

Figuur 9: De absorptiecoëfficiënt, bij loodrechte inval, indien een totale dikte van 40 mm wordt verdeeld over een laag absorptiemateriaal en een laag lucht voor een betonnen achterwand. De diktes staan in de figuur ingeschreven.

Uitgaande van een constructiedikte van 40 mm is f_onder gelijk aan 2126 Hz voor alle vier figuren.

Zoals in de voorgaande figuren zien we ook hier weer een omgekeerde relatie tussen de dikte van de absorptielaag en de stromingsweerstand. Een laag van 2 mm bij 200 000 rayl doet het voor de lagere frekwenties net zo goed als een laag van 20 mm bij 20 000 rayl. Dat geldt voor waarden onder en rond f_onder = 2126 Hz, waarbij dus voldaan wordt aan de kwart-lambda-voorwaarde. Boven die frekwentie is de geheel gevulde spouw superieur, in de luchtlaag ontstaan staande golven die de absorptie gedeeltelijk bederven en hoe dunner de laag absorptiemateriaal, des te dieper de dip rond 4000 Hz.

3.6 Dunne absorberende lagen, gordijnen

In figuur 9-rechtsonder is een laag doorgerekend van 2 mm dikte. Dat begint dus op gordijnen te lijken. Het is nu mogelijk het totale gewicht van dit materiaal door te rekenen.

Gestart wordt met de omrekening van de stromingsweerstand naar de bulk modulus, hetgeen uiteengezet is in de formules (41b) en (42b) van webpagina B.3.1. De formules gelden voor "fibre glass" en "wool" respectievelijk. Doorrekening bij σ = 200 000 rayl/m leert dat de soortelijke massa (bulk modulus) van "fibre glass" gelijk moet zijn aan 241 kg/m³, terwijl "wool" zwaarder moet zijn: 491 kg/m³. Dat betekent bij een laagdikte van 2 mm dat het gewicht per vierkante meter uitkomt op ca. 0.5 en 1.0 kg/m² respectievelijk. Dat zijn ook precies de getallen die in de overkoepelende webpagina B.3 worden verkregen uit het rekenprogramma Zorba.

Figuur 10: De invloed op de absorptiecoëfficiënt, bij loodrechte inval, van de dikte van de luchtlaag bij een absorberende laag van 2 mm op een luchtlaag waarvan de dikte gegeven is in de figuur. Links staat de absorptie als functie van de frekwentie, rechts is de absorptie gemiddeld per oktaaf. De stromingsweerstand σ = 200 000 rayl/m. Trial and error leert dat de blauwe curve rond 300 Hz nog net iets kan worden opgehoogd als σ daar daalt tot 150 000.

De invloed van de dikte van de luchtlaag achter een absorberende laag van 2 mm staat in figuur 10. In de linker figuur is een weergave gekozen gelijk aan alle voorgaande figuren. Het grid in de figuur is weggelaten; dan zijn de curven helemaal niet uit elkaar te houden. Om het beeld iets duidelijker te maken zijn in de rechter figuur de absorptiecoëfficiënten gemiddeld per oktaafband. Dat mag; er wordt bij zo’n samenvoeging altijd gemiddeld over p² en dat gebeurt hier via een omweg.

De conclusie is dat een dunne laag toch een verrassend aardige prestatie levert. Bij "echte" gordijnen is een belangrijk verschil de plooiing. Het gebruikte rekenmodel is uiteraard niet in staat om geplooide constructies door te rekenen, maar verwacht mag worden dat het model het gemiddelde wel goed representeert en de genoemde massa’s per vierkante meter van 0.5 en 1.0 kg/m² kunnen dan worden gerekend in geplooide toestand. In de bovenliggende webpagina B.3 wordt dieper ingegaan op gordijnen. De berekeningen daar gelden echter bij alzijdige inval, berekend met Zorba, en zijn dus meer toegespitst op de praktijk De daar getrokken conclusies over het ideale gewicht zijn consistent met de conclusies in de huidige webpagina B.3.3.

3.7 Plafondplaten met afhanghoogte

Om het beeld compleet te maken wordt in figuur 11 een rekenuitkomst gegeven van een plafond bestaande uit een "oneindige plaat" bij een drietal afhanghoogten. Anders gezegd: we herhalen figuur 10 maar dan met een plaat van 20 mm dik i.p.v. 2 mm in figuur 10. Geheel volgens de eerder geven schaalregels mikken we dan op een stromingsweerstand die juist tien maal zo klein is.

Figuur 11: De invloed op de absorptiecoëfficiënt, bij loodrechte inval, van de dikte van de luchtlaag bij een absorberende laag van 20 mm op een luchtlaag waarvan de dikte gegeven is in de figuur. De stromingsweerstand σ = 20 000 rayl/m.

Vergelijking tussen figuur 11 en figuur 10 leert dat de figuren vrijwel gelijk zijn. De piek in de rode curve is in figuur 11 naar links geschoven, maar dat klopt ook: de constructie is in totaal 40 mm dik, terwijl die in figuur 10 een dikte heeft van 22 mm.

Er is wel een constructief verschil. Volgens de formules uit webpagina B.3.1 weegt het dunne materiaal 241 kg/m³, hetgeen neerkomt op 0.48 kg per vierkante meter. Voor het materiaal uit figuur 11 geldt respectievelijk 49 kg/m³ en 0.98 kg/m². Het is dus dubbel zo zwaar.

4. Alzijdige inval

4.1 De grenzen van het lagenmodel

In de voorgaande webpagina B.3.2 is al ingegaan op scheve inval. Dat kan worden ingevoerd door een aangepaste vorm van formule 3:

(7)

waarin β de invalshoek representeert. Het geval β = 0° staat voor de loodrechte inval uit de voorgaande paragrafen. Indien de invalshoek naar 90° nadert, gaat de cosinus naar 0 en de reflectiecoëfficiënt naar -1. De reflectiecoëfficiënt werd in de theorie beschouwd als een complexe grootheid waardoor er faseverschillen kunnen optreden tussen de geluiddruk en de deeltjessnelheid.

Uit de reflectiecoëfficiënt werd de absorptiecoëfficiënt berekend. Dat is een scalaire grootheid en bij de overgang is informatie weggegooid. Dat gaat goed bij invalshoeken in de buurt van β = 0°, maar bij nadering tot 90° wreekt zich deze aanpak. Immers, een reflectiecoëfficiënt gelijk aan -1 leidt rekenkundig tot een absorptiecoëfficiënt gelijk aan 0 en dat is in tegenspraak met metingen. In de voorgaande webpagina werd wat dieper op het fenomeen ingegaan.

In figuur 12 worden de absorptiecoëfficiënten gegeven bij een laag absorptiemateriaal van 40 mm op een harde achterlaag. De invalshoek β is gegeven als parameter. De grafieken bevatten ook een rode lijn, die is berekend met de formule van Paris, die in de voorgaande webpagina al is behandeld:

(8)

In de literatuur komt men deze formule tegen als berekening van de alzijdige absorptiecoëfficiënt. Echter, als de berekening bij grotere hoeken niet deugt, levert ook de formule van Paris een fout antwoord op. Daarom is in de figuren ook een groene curve opgenomen die afkomstig is uit het half-empirische model Zorba. De curve geldt voor alzijdige inval. Zorba levert geen curve per hoek (hoe zou dat trouwens moeten worden gemeten?) maar levert wel een curve voor loodrechte inval. Die valt vrijwel geheel over de dikke zwarte lijn die loodrechte inval representeert.

Figuur 12: De absorptiecoëfficiënt van een laag absorptiemateriaal, dikte 40 mm, bij variërende invalshoeken van 2.5° tot 87.5° in stappen van 5°. De zwarte lijnen zijn berekend met het lagenmodel, waarbij de dikke zwarte lijn loodrechte inval representeert; de rode lijn volgt uit formule 8.

De groene lijn is berekend voor alzijdige inval met het programma Zorba. De Zorba-waarden voor loodrechte inval zijn niet getekend, zij vallen vrijwel gelijk met de dikke zwarte lijn uit het lagenmodel.

We zien in alle grafieken dat de absorptie eerst toeneemt bij toenemende invalshoek. Echter boven 60 à 70° neemt de absorptie drastisch af; de cosinusfunctie in formule (7) krijgt dan de overhand. In de voorgaande webpagina werd al betoogd dat de reflectiecoëfficiënt daar goed wordt berekend maar dat de overgang naar de absorptiecoëfficiënt niet klopt. Daardoor deugen de rode lijnen in de figuren niet. De groene lijn uit Zorba ligt sterk verschoven, maar het aardige is dat de groene lijnen een veel gunstiger beeld schetsen van de alzijdige inval dan het model van Paris.

4.2 Twee conclusies voor de praktijk

Uit figuur 12 kunnen twee conclusies worden getrokken die van belang zijn voor een materiaalkeuze in een praktijksituatie:

Indien wordt gekeken naar de resultaten voor loodrechte inval (die gelijk zijn voor lagenmodel en Zorba) is een stromingsweerstand in de orde van 20 000 rayl/m te verkiezen. Dat was een conclusie uit figuur 8, die we herhaald zien in de dikke zwarte lijnen van figuur 12. Echter, bij alzijdige inval heeft het zin om een dichter materiaal te kiezen. Bij de overgang van 20 000 naar 100 000 rayl/m (respectievelijk rechtsboven en rechtsonder in figuur 12) wordt de curve voor loodrechte inval minder fraai, maar de groene curve gaat erop vooruit. Vooral tussen 100 en 200 Hz loopt de absorptie op. Enige probeersels met Zorba (hier niet getoond) tonen een optimum rond 80 000 rayl/m. Anderzijds moet die waarde niet al te strikt worden gehanteerd. Het is beter om een voorkeur uit te spreken voor "een range tussen 50 000 en 100 000 rayl/m".
In paragraaf 3.3 is het "kwart-lambda-criterium" ingevoerd: bij een goede keuze van de stromingsweerstand absorbeert een materiaal optimaal boven een frekwentie die correspondeert met een golflengte die gelijk is aan vier maal de laagdikte. Berekening leert dat een laagdikte van 4 cm leidt tot een grensfrekwentie van 2138 Hz. Dat blijkt in figuur 12-rechtsboven goed te kloppen voor de dikke zwarte lijn bij loodrechte inval. Maar tot onze grote vreugde zien we aan de groene lijn dat het criterium niet klopt bij alzijdige inval. De grensfrekwentie daalt naar de veel gunstiger waarde van 400 Hz, al blijft de curve wel steken op 90% in plaats van 100%.

4.3 De invloed van een luchtlaag

We keren thans terug tot figuur 5-linksonder. Daar werd gerekend aan een constructie waarbij zich een laag lucht bevindt tussen het absorptiemateriaal en de harde achterwand. In figuur 13 wordt de berekening herhaald maar nu voor alzijdige inval. De laag lucht is 35 mm dik, daarvoor bevindt zich een laag absorptie van 5 mm dik. Voor een goede absorptie moet de stromingsweerstand van die laag hoger zijn dan bij een massieve laag. In figuur 12 varieerden de sigma’s van 10 000 tot 100 000, in figuur 13 is de waarde σ = 200 000 rayl/m gebruikt.

Figuur 13: De invloed op de absorptiecoëfficiënt van een laag lucht tussen absorptiemateriaal en harde achterwand. De totale dikte is weer 40 mm, verdeeld over 5 mm absorptie en 35 mm lucht.

De formule van Paris laat ons dit keer wel heel erg in de steek. Bij loodrechte inval geven het lagenmodel en Zorba weer gelijke uitkomsten maar de rode lijn voor alzijdige inval ligt aan de rechter kant van de dikke zwarte lijn voor loodrechte inval. De groene Zorbalijn voor alzijdige inval schetst nu een veel optimistischer beeld van de absorberende prestaties van deze constructie. De prestaties van deze constructie zijn heel bevredigend als we bedenken dat hier acht maal zo weinig absorptiemateriaal wordt gebruikt. Rond 200 en 400 Hz worden de prestaties slechts een spoortje minder. Rond 4300 Hz zien we een dip waar de invloed van een staande golf zich doet gelden.

Overigens is het lagenmodel bij alzijdige inval wel degelijk te redden; dat is in de voorgaande pagina al duidelijk gemaakt. De hypothese is dat de berekening prima gaat tot en met de reflectiecoëfficiënt van formule (7), maar vervolgens is een andere synthese van de hoeken nodig dan formule (8). Alle hoeken moeten eigenlijk fasegetrouw worden opgeteld en dat kan met een fourierintegraal. Dergelijke modellen worden gebruikt in de buitenluchtakoestiek en in de seismiek. Het probleem voor de ruimteakoestiek is dat dan een puntbron moet worden aangenomen op een bepaalde afstand tot de absorberende laag en aan die voorwaarde is in een ruimte moeilijk te voldoen, al was het maar omdat er minimaal 6 wanden zijn die allemaal een verschillende afstand tot de bron hebben.

5. Conclusie en praktijkaanbevelingen

Indien een absorptiemateriaal moet worden gekozen voldoet het lagenmodel uitstekend bij loodrechte inval. Bij (zeer) scheve inval berekent het lagenmodel de reflectiecoëfficiënten min of meer correct, maar de overgang naar absorptiecoëfficiënten en de synthese over meerdere invalshoeken deugt niet om het alzijdig gedrag in een nagalmkamer te voorspellen. Voor alzijdige inval raadplegen we daarom zelf graag een numeriek model als "Zorba". Dat is een mengvorm van enerzijds theorie zoals gegeven in de huidige en voorgaande webpagina’s en anderzijds meetuitkomsten gegoten in formules. Maar ook dat model moet altijd worden gevoed met materiaalgegevens (de stromingsweerstand bijvoorbeeld) en dan zijn de gegeven grafieken handig als startpunt van de invoer en wordt dus voorkomen dat er blindweg moet worden gegokt.

Als aanbevelingen voor de praktijk kunnen de volgende punten worden genoteerd. Ze zullen overigens worden herhaald in webpagina B.3.5, maar dan aangevuld met extra aanbevelingen voor gaatjesplaten.

Met vlakke absorberende platen kunnen hoge absorptiecoëfficiënten worden bereikt (tot 100%). Daarbij wordt verondersteld dat de platen rechtstreeks worden aangebracht op een harde, niet-absorberende achterwand van beton, baksteen, hout, e.d.
Absorptiematerialen kunnen worden gekarakteriseerd door de "stromingsweerstand". Dat is een materiaaleigenschap die eenvoudig kan worden gemeten. De stromingsweerstand kan ook vrij nauwkeurig worden berekend met eenvoudige rekenmodellen.
De stromingsweerstand van een materiaal is gekoppeld aan het gewicht van het materiaal. Maar verschillende materialen hebben verschillende vezelstructuren en daardoor is het verband met de akoestische eigenschappen wat minder eenduidig dan bij de stromingsweerstand.
Voor materialen met hoge absorptiecoëfficiënten is een juiste keuze van de stromingsweerstand essentieel. Zowel een te hoge als een te lage waarde doen het absorberend effect teniet. Er kan dus niet zomaar een willekeurige absorptieplaat worden gekozen. Lastig is ook dat er interactie is tussen de stromingsweerstand en de laagdikte: een andere laagdikte vraagt een andere stromingsweerstand.
Helaas absorberen platen alleen bij frekwenties boven een bepaalde kantelfrekwentie, voor lagere frekwenties nadert de absorptie vrijwel tot nul.
Een vuistregel voor de kantelfrekwentie is de kwart-lambdaregel die de minimale dikte van de constructie regelt. Absorptie treedt op voor frekwenties boven de frekwentie die overeenkomt met een golflengte gelijk aan viermaal de dikte. Bijvoorbeeld: bij een kantelfrekwentie van 500 Hz is de golflengte gelijk aan 68 cm (geluidsnelheid gelijk aan 340 m/s), zodat de constructiedikte minimaal 17 cm moet zijn. De wiggen in een dode kamer zijn 1 m; de bijbehorende golflengte is 4 m en dus werkt een dode kamer vanaf ca. 85 Hz.
In de praktijk werken laagdikten van 4 cm meestal voldoende om luide spraak te reduceren; lagen van 1.5 cm werken hoogfrekwent prima, maar aanvullende absorptie in de lagere frekwenties is nodig. Absorberend behang bestaat niet.
Tussen de harde achterwand en de plaat absorptiemateriaal kan een laag lucht worden toegepast. Voorwaarde is, vergeleken met een massieve laag, dat een dichter materiaal met een hogere stromingsweerstand wordt toegepast.
Voorgaand punt verklaart waarom verlaagde plafonds zo populair zijn. De laag lucht (de "afhanghoogte") mag worden meegerekend in de kwart-lambdaregel, zodat een grotere afhanghoogte de absorptie in de lagere frekwenties verbetert.
Gordijnen vormen ook een laag absorptie met een achterliggende luchtlaag. Maar gordijnen moeten dan een hoge stromingsweerstand hebben, overeenkomend met een relatief hoog gewicht. Gordijnen doen het prima bij 1 kg/m2, eventueel in geplooide toestand.
In de luchtlaag ontstaan staande golven, waardoor het absorberende gedrag vermindert. Een massieve laag is dan beter.

[1] De gevonden waarde is een rechtstreekse uitkomst van het computermodel. Er moet toch haast wel literatuur over bestaan inclusief wat achterliggende theorie. Het is ons niet gelukt om er iets over te vinden.

[2] Dat vereist een samenspel van de complexe grootheden k en W uit de formules van de voorgaande webpagina B.3.2 en die hangen sterk af van de stromingsweerstand σ.