De Sabine-Franklin-Jaeger-theorie geldt voor een kubus

In de  voorgaande theoriedelen gemeld dat de theorie van Sabine-Franklin-Jaeger een benadering geeft die de beste resultaten geeft in een kubusvormige ruimte. Een rechthoekige ruimte die afwijkt van een kubus wordt op twee manieren "gestraft":

• De geluidniveaus zijn hoger dan voorspeld door de theorie,

• De nagalmcurve wijkt af van de voorspelde rechte lijn, waardoor de nagalmtijden anders zijn dan voorspeld.

 

In de literatuur wemelt het van de alternatieve formules voor het tweede punt, waarvan sommige knap ingewikkeld zijn. Merkwaardig is dat voor het eerste punt geen alternatieve formules zijn ontwikkeld, terwijl er toch velerlei situaties zij (restaurants, sportzalen, enz.) waar het geluidniveau belangrijker is dan de nagalmtijd.

We zullen deze twee onderdelen in afzonderlijke theoriedelen behandelen. Thans komt het geluiddrukniveau aan de beurt, in het volgende deel de nagalmcurve.

 

Wat gebeurt er als we een kubus vervormen?

In figuur 1 is links een kubusvormige ruimte getekend waarvan de ribben gelijk zijn aan L. Het aantal spiegelbronnen is oneindig groot; er zijn er drie getekend. Zowel de rode als de blauwe komen na één reflectie tot stand, de zwarte geldt bij twee reflecties.

 

Figuur 1:  Een kubusvormige ruimte (links) en een ruimte waarvan de lengte twee maal zo groot wordt en de hoogte wordt gehalveerd. De breedte (niet getekend) blijft gelijk.

 

De bijdrage aan het kwadraat van de geluiddruk p kan in de linker figuur, voor zowel de blauwe als de rode bron, worden geschreven als:

(1)

met:

r	=	dichtheid van lucht
c	=	geluidsnelheid
W0	=	continu vermogen van de bron
R	=	de energie-reflectiecoëfficiënt van alle wanden [[1]]
L	=	de lengte van de ribbe van de kubus

 

Het totale geluiddrukniveau L_p kan hieruit worden afgeleid en is volgens de SFJ-theorie gelijk aan:

(2)

met:

(3)

en:

LW	=	akoestisch vermogen van de bron
S	=	totale oppervlak van de wanden

 

In het rechterdeel van figuur 1 wordt de kubus vervormd tot een rechthoekige ruimte. De lengte wordt tweemaal zo groot, de breedte (niet getekend) blijft gelijk en de hoogte wordt gehalveerd. We houden de reflectiecoëfficiënt R gelijk voor alle wanden.

In de SFJ-theorie volgens formule (2) gebeurt er maar één ding: het totale oppervlak wordt groter. Voor de kubus in de linker figuur geldt:

(4a)

 maar voor de rechter ruimte geldt:

(4b)

Dat betekent dus dat, ten opzichte van de kubus, de grootte van het geometrisch oppervlak stijgt en daardoor het geluiddrukniveau volgens formule (2) daalt.

 

Echter, volgens het spiegelbronnenmodel gebeuren er andere dingen. De afstand van de rode bron wordt gehalveerd, waardoor het vermogen volgens formule (1) wordt verviervoudigd. De bijdrage aan het vermogen van de blauwe bron wordt daarentegen vier maal zo klein. In totaal vinden we bij vergelijking tussen links en rechts dus dat het vermogen in het rechter geval groter is omdat:

(5)

zodat het geluiddrukniveau dus stijgt. Uiteraard passen we het model nu alleen toe op de bronnen die slechts eenmaal hebben gereflecteerd, maar het is voorlopig wel aan te voelen dat de bronnen op grotere afstand het effect niet kunnen compenseren.

 

Voor zover valt na te gaan is er in de literatuur nog nooit een gesloten oplossing gevonden voor een berekening van de som over alle spiegelbronnen [[2]], noch als som, noch als integraaloplossing en ook ons is het niet gelukt. Sommige integralen zijn nu eenmaal onoplosbaar en we moeten vrezen dat dit probleem daar bij hoort. Anderzijds is een numerieke berekening een peulenschil. Het resultaat staat in figuur 2.

In de linker figuur zijn een paar numerieke exercities gepleegd aan de vorm van de ruimte die langs de horizontale as is uitgezet. Links wordt gestart met een kubus van 8 × 8 × 8 m³. Dan wordt de lengte tweemaal zo groot en de hoogte tweemaal zo klein, waardoor een ruimte van 16 × 8 × 4 m³ ontstaat. Die verdubbeling wordt nog eens tweemaal herhaald. In de rechter figuur wordt weer het volume constant gehouden [[3]], maar nu zijn er telkens twee dimensies gelijk gehouden. We zien daardoor links corridor-achtige ruimten [[4]] en rechts vierkante zalen met een laag plafond.

 

Op het eerste gezicht lijkt een ruimte van 64 × 8 × 1 m³ alleen geschikt om in te kruipen. Maar het gaat in alle modellen eigenlijk om de verhouding tussen de afmetingen. Alle formules, zowel voor Sabine als voor het spiegelbronnenmodel mogen nl. worden geschaald. Bij een halvering van de ruimte met een factor 2 moet er 6.0 dB bij het geluiddrukniveau worden opgeteld; dus bijvoorbeeld:

(6)

Desondanks zullen sommige ruimten niet vaak in de praktijk worden gevonden.

 

 Figuur 2:  Het geluidrukniveau als functie van de vorm van een rechthoekige ruimte. De rode lijnen geven de klassieke SFJ-theorie, de blauwe lijnen geven de resultaten van een spiegelbronnenmodel. Alle berekeningen zijn uitgevoerd met L_W = 70; dat is ongeveer de  sterkte van normale spraak. De afstand tussen bron en ontvanger is gelijk gekozen aan mfp, die dus met de vorm verandert.

 

Gestart is met het homogene geval, waarbij dus alle wanden dezelfde reflectiecoëfficiënt R hebben, gelijk aan 0.9, 0.8 en 0.6, zodat dus de absorptiecoëfficiënten respectievelijk 10, 20 en 40% zijn. In alle gevallen is het volume constant gehouden en is de ruimte steeds verder uitgerekt.

De rode punten geven de uitkomsten van de SJF-theorie, de blauwe komen uit het spiegelbronnenmodel en de conclusie uit figuur 2 is dat de SFJ-theorie een dalende tendens voorspelt bij afwijkingen van een kubus. Het spiegelbronnenmodel toont juist een stijgende tendens.

 

Inhomogene verdeling van absorptie over de ruimte

Ruimten waarin alle vlakken dezelfde absorptiecoëfficiënt hebben bestaan in de dagelijkse praktijk niet. Daarom is ook het inhomogene geval doorgerekend. Van theoretische berekeningen kunnen in de literatuur wel voorbeelden worden gevonden. Kuttruff [[5]] en Pierce [[6]] berekenen het effect met stralingsmodellen afkomstig uit de warmtetheorie. Die modellen gaan uit van diffuus stralende vlakken, waarna slechts kleine veranderingen worden gevonden van het geluiddrukniveau. Het spiegelbronnenmodel gaat juist uit van het tegenoverliggende model (volledige spiegeling), maar ook hier zijn de verschillen klein.

In figuur 3 zien we een berekening waarbij het grootste deel van de absorptie op het plafond zit en de vloer weinig absorbeert. Qua vorm (dus de onderlinge verhoudingen) wordt hier dus gedacht aan een sportzaal.

Figuur 3:  Inhomogene verdeling van absorptie. De absorptiecoëfficiënten zijn van boven naar beneden gelijk aan 10%, 20% en 40%. De vloer heeft steeds 5% absorptie; de absorptie van het plafond is tweemaal die van het gemiddelde, dus respectievelijk 20, 40 en 80%. De absorptie van de vier andere vlakken is vervolgens teruggerekend.

 

De SFJ-waarden (in rood) zijn in figuur 2_links reeds gegeven [[7]]. Die zijn in figuur 3 hetzelfde omdat de gemiddelde waarden gelijk zijn gehouden en formule (2) dus precies hetzelfde oplevert. De spiegelbronberekeningen (in blauw) tonen een lichte daling, die dus ook al door Kuttruff was voorspeld. De reden kan uit figuur 1_rechts worden afgeleid. De rode spiegelbron ligt het dichtst bij de mikrofoon en is dus het luidst. Juist die bron wordt het meeste aangepakt als er absorptiemateriaal op het plafond wordt geplakt.

Concluderend kunnen we stellen dat de onderlinge verschillen klein zijn. Eigenlijk kunnen we met de vorm van de ruimte weinig doen om geluidhinder te bestrijden. De hoeveelheid absorberend oppervlak is veel belangrijker dan de vorm van de ruimte en de plaats waar het materiaal wordt bevestigd. We zullen daar later nog op terugkomen.

 

Echter, dit resultaat geldt expliciet voor de sterkte van het geluid. In de volgende delen zullen we (helaas?) zien dat deze bewering niet opgaat voor de nagalmcurve. Integendeel, de verdeling van absorptiematerialen zal dan allesbepalend blijken te zijn.

 

Waarom de SFJ-theorie slechts een benadering geeft

Het is interessant om formule (2), de vrucht van de Sabine-Franklin-Jaeger-theorie eens te ontrafelen. Er staat dus:

(2, herhaling)

Als we de absorptiecoëfficiënt α vervangen door de reflectiecoëfficiënt R staat er dus ook:

(7a)

 

(7b)

De laatste term binnen de haakjes kan worden geschreven als het resultaat van een reeksontwikkeling. Immers:

(8)

De voorwaarde voor convergentie is dat R < 1, en aan die voorwaarde is hier uiteraard voldaan.

 

De SFJ-therie stoelt dus eigenlijk op een paar veronderstellingen:

• Alle bronnen met een gelijk aantal reflecties liggen op dezelfde afstand.

• Alle bronnen op gelijke afstand vertegenwoordigen dezelfde energie.

 

Als we het spiegelbronnenmodel bekijken zien we dat beide beweringen op losse schroeven staan; zie daartoe figuur 4:

Figuur 4:  Een rechthoekige ruimte waaromheen een paar spiegelbronnen zijn getekend. Het getal bij een spiegelbron geeft het aantal reflecties.

 

De figuur geeft de ruimte van figuur 2, links. Er zijn slechts een paar spiegelbronnen getekend.

In de figuur staat bij iedere spiegelbron ook het aantal reflecties aangegeven. Volgens de SFJ-theorie moet men nu alle bronnen samenvoegen die één, twee, drie, ... maal hebben gereflecteerd. Maar we zien dat de bovenste rode bron met twee reflecties gelijktijdig binnenkomt met de blauwe bron die eenmaal heeft gereflecteerd. Eén van de zwarte bronnen heeft driemaal gereflecteerd en komt zelfs eerder binnen dan de blauwe met twee reflecties. De tijdaanduiding op grond van het aantal reflecties is dus niet correct en daarmee tevens de sterkte van de bronnen die immers (volgens formule 1) op de afstand is gebaseerd en daarmee rechtstreeks gelinkt aan de tijd.

Indien in figuur 4 een langwerpige ruimte wordt vervangen door een kubus, zijn de afwijkingen veel kleiner. Ze verdwijnen echter nooit helemaal en ook voor een kubus is de SFJ-theorie slechts een benadering.

 

Deze webpagina is als pdf te downloaden, klik hier

 

 

---